Показательные неравенства

Показательные неравенства

Аннотация: Данная статья предназначена для ознакомления и рассмотрения решений заданий ЕГЭ (профильного уровня) показательных неравенств.

Ключевые слова: неравенство, квадратное уравнение, теорема Виеты, интервал, числовая ось.

        Прежде чем приступить к рассмотрению заданий, вспомним что означает:

• Неравенство-это соотношение между величинами показывающее, что одна величина больше или меньше другой.
• Интервал-это множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравенству    [pic 1]
• Числовая ось –это прямая, на которой выбраны:

1. некоторая точка О- начало отсчета;
2. положительное и отрицательное направление, указанное стрелкой;
3. масштаб, то есть единица измерения длин.

А теперь приступим к решению самих заданий

Задание 1

Решите неравенство:

[pic 2]

Для того чтобы решить неравенство представим 1 в виде 3,20, так как любое число в степени «0» дает число «1».

[pic 3]

В результате мы получили простейшее показательное неравенство причем основания этого неравенства больше 1, значит при переходе к показателям знак неравенства сохраняется. Запишем полученное неравенство:

[pic 4]

Показатель левой части больше или равно правой части. Получили дробно рациональное неравенство. Такого рода неравенства будем решать методом интервала. Для этого нас придется числитель дроби разложить на множители.

[pic 5]

Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виеты. Корнями этого уравнения является . Теперь числитель дроби мы можем разложить на множители[pic 6]

[pic 7]

Для того чтобы решить это неравенство методом интервала нужно нули числителя и знаменателя т.е. это те значения x при которых каждая скобка, множитель окажется обращается в нуль. Так вот данные нули выставляем на числовой оси. При этом ноль знаменателя это выбитая точка потому, что на ноль делить нельзя, а нули числителя жирные точки, т.к. неравенство не строгое. Данные числа разбиваю числовую ось на промежутки.

[pic 8]

Определим знак на правом крайнем интервале, а затем будем знаки чередовать потому что все нули нечетной кратности итак возьмем любое число, которое больше единицы, например 2 подставляем вместо  получаем и в числителе и знаменателе положительный знак, далее расставляем знаки чередуя их.[pic 9]

...