Методика изучения показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств

ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАНЯТИЕ №  4.

Тема:  Методика изучения показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств.

Основные вопросы, рассматриваемые на занятии:

1. Методика обучения учащихся решению трансцендентных уравнений и неравенств.

Трансцендентные функции, аналитические функции, не являющиеся алгебраическими Простейшими примерами Т. ф. служат, показ, триг, лог функции.

Показательная ф-я

Сущ-ют 2 подхода к изуч-ю этой темы:

1 подход(Колм., Мордк.):Показ.ф-я изуч-ся в 11 кл позже темы «Произ-я» 10 кл.

«+»:можно опираться на пон-е произ-й при изуч-и св-в ф-и; «-»:таблица произ-х будет сначала неполной и уч-ся не будет сформировано целост.пон-е произ-й элем.ф-и

2 подход(Никольский,Алимов):Показ.ф-ю (10 кл) изучают раньше произ-й (11 кл).

Редко встреч-ся подход,когда внутри самой темы меняются местами изуч-е показ.и лог. ф-и:лог.ф-я рассм.раньше показат.,а показат.ф-я вводится как обратная к лог-кой.

Осн.пон-я:1)степень с иррац.пок-лем; иррац.ур-я; 2)показ.ф-я,ее св-ва и гр-к; 3)тожд.преобр-я показ.выр-й; 4)реш-е показ. ур-й и нер-в с опорой на св-ва показ.ф-и; 5)произ-я показ. ф-и (ax)’=axlna; (ex)’= ex.

Методич.замечания:

(1)Пон-е корня n степени и степени с рац.по-казателем явл.обобщением пон-й(ранее изученных) кв.корня и степени с цел.пок-лем.

(2)Необ-мо уделить вним-е отработке св-в степеней и фор-ю навыков тожд.преобр-й.

(3)Пон-е степени с иррац.пок-лем вводится на наглядно-интуитивной основе.

(4)Изуч-е св-в показ.ф-и д.б.построено в соотв.с общ.схемой исслед-я.

(5)Вывод ф-лы произ.показ.ф-и производится на нагл.-интуит.основе.

Рассм.дифф.ур-е роста(убывания)пок-ля, сле-дует отметить,что показ.ф-я выступает как матем.модель,используемая для описания реальных процессов.

А) a>1 1)D(y)=(- µ;+µ), 2)E(y)=(0;+µ), 3)Общ.вида,непериод.,4) на (- µ;+µ), 5)ограничена снизу 0, сверху не огранич, 6)не имеет ни наиб., ни наим.знач-й,7)непрерывна,9)Ох-горизонт.ас-та при х®+µ,10)Произ.всегда >0, (2x)’=2xln2>0

Б) 0<a<1 1)D(y)=(- µ;+µ),2)E(y)=(0;+µ), 3)Общ.вида,непериод, 4)¯ на (- µ;+µ), 5) ограничена снизу 0, сверху не огранич, 6)не имеет ни наиб., ни наим.знач-й, 7)непрерывна, 9)Ох-горизонт.ас-та при х®-µ,10)Произ.всегда <0, ((1/2)x)’=(1/2)xln(1/2)<0

Логарифмическая ф-я

Осн.пон-я:1)лог.числа,св-ва лог-мов; 2)лог. ф-я,ее св-ва и гр-к; 3)тожд.преобр-я лог.выр-й; реш-е лог.ур-й и нер-в с опорой на св-ва лог. ф-и; 4)пон-е нат.лог-ма,число е; 5)произ-я лог. ф-и (logax)’=1/(xlna); (lnx)’=1/x.

Методич.замечания:

(1)При изуч-и лог.ф-и нужно обратить вним-е на пон-е взаимнообрат.ф-й на примере показ.и лог.ф-й с одинак.осн-ми. Св-ва лог.ф-и следуют из св-в показ.ф-и и Th об обрат.ф-и. Полезно чтобы уч-ся повторили эту Th.

Th Гр-ки взаимнообрат.ф-й f(x) и g(x) сим-ны отн-но у=х.

Эта Th дает возм-ть легко построить гр-к y=logax, т.к. уже известно,как выглядит гр-к ф-и y=ax.

(2)Уч-ся должны усвоить обл-ти опр-я и обл-ти знач-я.

(3)Особ.вним.следует уделить осн.лог.тож-ву: alogab=b (b>0,a>0,a≠1),т.к.это св-во исп-ся при реш-и ур-й и нер-в.

А) a>1 1)D(y)=(0;+µ), 2)E(y)=(- µ;+µ), 3)Общ.вида,непериод., 4) на (0;+µ), 5)не ограничена ни сверху,ни снизу, 6)не имеет ни наиб., ни наим.знач-й, 7)непрерывна

Б) 0<a<1 1)D(y)=(0;+µ), 2)E(y)=(- µ;+µ), 3)Общ.вида,непериод., 4)¯ на (0;+µ), 5)не ограничена ни сверху,ни снизу, 6)не имеет ни наиб., ни наим.знач-й, 7)непрерывна

Тригонометрические фун-ии

Осн понятия 1. Св-ва фун-ий (непрерывность, периодичность, чёт/нечёт.,убыв./возр., экстремумы, максимумы, минимумы, ограниченность,знакопостоянство). 2. Св-ва и графики функ-й y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, Сведения о фун-ях и их графиках дополняются (экстремумы, периодичность) и систематизируются в виде общей схемы исслед. фун-й. Формируется представление об асимптотах (y=tgx, y=ctgx), Св-ва фун-й можно интерпретировать графически (чтение граф.). Рассматривается вопрос о преобразовании графиков (паралл-ый перенос на заданный вектор, растяжение по осям), что позволяет осознанно строить графики гармонич. колебан.