Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

ЛЕКЦИЯ 11

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго и высших порядков

цель лекции: ввести понятие линейных ДУ 2-го порядка,  объяснить решение ЛОДУ и ЛНДУ.

ключевые слова (термины): линейное дифференциальное уравнение, , общее решение, частное решение

основные вопросы (положения) и краткое содержание:

Дифференциальное уравнение  второго порядка называется линейным,  если оно содержит искомую функцию у и её производные [pic 1] и [pic 2] только в первой степени, и не содержит их произведения.

В общем виде такое уравнение записывается следующим образом:

[pic 3](3.27)

где [pic 4],  [pic 5] и [pic 6] непрерывные в интервале [pic 7] функции.

Если  [pic 8], то уравнение  называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка.

 Если [pic 9], то уравнения примет вид  [pic 10](3.28)

и называется линейнымоднородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если функции [pic 11][pic 12] являются частными решениями уравнения (3.28), то функция [pic 13], где [pic 14], также будет являться решением этого уравнения.

Функции [pic 15][pic 16] называются линейно-независимыми, если   их отношения не является постоянным числом, т.е.      [pic 17].

Если [pic 18] и[pic 19]  линейно-независимые частные решения линейного однородного уравнения (3.28), то функция [pic 20],  где  [pic 21]   (3.29)

будет являться общим решением этого уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядкас постоянными коэффициентами.

Если  в уравнении (3.28)  [pic 22] и [pic 23]  являются постоянными действительными числами, то уравнение [pic 24]         (3.30)

называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Общее решение такого уравнения будет иметь вид (3.29). То есть для нахождения общего решения уравнения (3.30) достаточно найти два его частных линейно независимых решения.

Частные решения уравнения (3.30) будем искать в виде [pic 25] (3.31)

Дифференцируя (3.31),  получим  [pic 26],   [pic 27](3.32)

Подставим (3.31) и (3.32) в (3.30),  получим     [pic 28]

или                  [pic 29]

Учитывая, что [pic 30] имеем       [pic 31](3.33)

Уравнение  (3.33) называется характеристическим уравнением уравнения (3.30).

 При решении уравнения (3.33) возможны три случая:

1. Корни  характеристического уравнения (9.33)[pic 32] и [pic 33] действительные и различные, т.е.  [pic 34]. Тогда частными решениями уравнения  (3.30) будут функции [pic 35] и [pic 36], так как для них выполнено  условие [pic 37].

Поэтому общее решение уравнения (3.30) будет иметь вид:

[pic 38]                                (3.34)

1. Корни уравнения (3.33)[pic 39] и [pic 40] действительные и равные, т.е. [pic 41].  В этом случае имеем только одно частное  решение [pic 42]. Покажем , что частным решением уравнения (3.30) будет также функция [pic 43].

Найдем производные [pic 44] и [pic 45]:[pic 46]

[pic 47]

Подставим их в уравнение (9.30):

[pic 48]

[pic 49].

Так как [pic 50] есть корень уравнения (3.33), то [pic 51],  и так как [pic 52], то [pic 53].

Значит    [pic 54], т.е. функция [pic 55] является решением уравнения (3.30).