Дифференциальные уравнения

7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

[pic 1] 

Решение. Разделяем переменные в данном уравнении:

[pic 2]

проинтегрируем его:

[pic 3]

Ответ: [pic 4], [pic 5] 

17. [pic 6] 

Решение. Запишем уравнение в виде

[pic 7] 

Данное уравнение является однородным, выполним подстановку [pic 8], тогда [pic 9] 

Подставим эти выражения в последнее уравнение:

[pic 10]

разделяя переменные, получаем

[pic 11] .

Интегрируем полученное выражение:

[pic 12]

следовательно, [pic 13] подставляя вместо [pic 14] получаем, что

[pic 15]

Ответ: [pic 16]

Найти частные решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие условиям

27. а) [pic 17]. б) [pic 18] 

Решение. Дважды интегрируя левую и правые части уравнения, получаем:

[pic 19] 

Удовлетворим начальные условия, для этого найдем производную

а)  [pic 20].

[pic 21]

Следовательно, решение имеет вид [pic 22]

Во втором случае б) [pic 23] Очевидно, решение имеет вид [pic 24]

Найти общее решение уравнения:

37.  [pic 25]

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

[pic 26] 

корни которого [pic 27] кратность 2, и [pic 28].

Тогда решение данного уравнения имеет вид:

[pic 29]

Ответ: [pic 30]

Найти общее решение дифференциального уравнения:

47. [pic 31] 

Решение.

Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению [pic 32]=0, имеет вид

[pic 33] 

Его корни [pic 34] Решение однородного дифференциального уравнения, следовательно, имеет вид:

[pic 35]

Частное решение неоднородного уравнения [pic 36] ищем в виде

[pic 37] 

Подставляя в исходное уравнение производные

 [pic 38]

получаем:

[pic 39] 

сравнивая коэффициенты при х в одинаковых степенях, получаем систему уравнений для определения неизвестных А, В, С, D и Е: