Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Курсовая работа

Тема: «Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка»

Оглавление

Введение………………………………………………………….3

1.Понятие дифференциальных уравнений первого порядка…4

2.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Методы их решения………………………………………………………………6

3.Практическая часть……………………………………………8

Заключение………………………………………………………23

Список литературы……………………………………………..24

Введение

При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии, других наук не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающие тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т.е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называются дифференциальными.

Термин «дифференциальное уравнение» принадлежит Лейбницу (1676, опубликовано в 1684 г.). Начало исследований по дифференциальным уравнениям восходит ко временам Лейбница, Ньютона, в работах которых исследовались первые задачи, приводящие к таким уравнениям. Лейбниц, Ньютон, братья Я. и И. Бернулли разрабатывали методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Целью данной работы является рассмотрение линейных дифференциальных уравнений первого порядка, описание методов их решений, решение различных линейных уравнений первого порядка.

1. Понятие дифференциальных уравнений первого порядка

 Уравнение вида:

[pic 1]

связывающее между собой независимую переменную, искомую (неизвестную) функцию y(x) и её производную  называется дифференциальным уравнением первого порядка.[pic 2]

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция y=, которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. График функции y= в этом случае называется интегральной кривой. Процесс нахождения решений данного дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.[pic 3][pic 4]

Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию , называется задачей Коши.[pic 5]

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция:

[pic 6]

где C – произвольная постоянная, что:

1) При любом конкретном значении C она является решением этого уравнения;

2) Для любого допустимого начального условия  найдётся такое значение постоянной , что .[pic 7][pic 8][pic 9]

В некоторых случаях общее решение дифференциального уравнения в явном виде записать нельзя, поэтому записывают в неявном виде: . Данное соотношение называется общим интегралом этого уравнения.[pic 10]

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

[pic 11]

получаемая из общего решения при конкретном значении постоянной  .[pic 12]

Геометрический смысл дифференциального уравнения состоит в том, что угловой коэффициент  касательной к интегральной кривой в каждой её точке равен значению в этой точке правой части уравнения. Таким образом, дифференциальное уравнение устанавливает зависимость между координатами точки (x;y) и угловым коэффициентом касательной к графику интегральной кривой в той же точке.[pic 13]

2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Методы решения.

Дифференциальное уравнения вида:

[pic 14]

где p(x) и g(x) – непрерывные функции (в частности постоянные), называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция y и её производная входят в уравнение линейно, то есть в первой степени.

Если g(x)=0, то уравнение принимает вид:

[pic 15]

Данное уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением. Оно является уравнением с разделяющимися переменными.