Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Содержание

1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Основные понятия        4

1.1 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами        5

1.2 Неоднородные линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами        8

2 Задания для практического выполнения        11

3 Задания для самостоятельной работы        16

4 Контрольные вопросы        22

1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Основные понятия

Уравнение, содержащее независимые переменные, неизвестную функцию и производные от неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением.

Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция зависит от двух или от большего числа независимых переменных, то такое уравнение называется уравнением с частными производными.

В данной работе будем рассматривать линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, которые имеют следующий вид:

[pic 2]

Рассмотрим решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Структура общего решения определяется следующей теоремой:

Теорема 1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (1.1) представляется как сумма  частного решения этого уравнения  и общего решения , соответствующего однородного дифференциального уравнения[pic 3][pic 4]

Таким образом, общее решение уравнения (1.1) имеет следующий вид:

[pic 6]

где [pic 7]

 - произвольные постоянные,[pic 8]

- частные решения уравнения  определяемые с помощью корней характеристического уравнения[pic 9][pic 10]

которое получается при формальной замене:

[pic 12]

1.1 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 2 порядка.

Например, из исходного линейного однородного дифференциального уравнения

записываем характеристическое уравнение

Если  -корни характеристического уравнения, то   – частные решения линейного однородного дифференциального уравнения.[pic 15][pic 16]

Характеристическое уравнение (1.5) есть квадратное уравнение, которое решается через дискриминант

[pic 17]

Если дискриминант , то характеристическое уравнение (1.5) имеет два корня[pic 18]

[pic 19]

и общее решение уравнения (2) имеет вид

[pic 20]

Если дискриминант , то характеристическое уравнение (1.5) имеет один корень[pic 21]

[pic 22]

и общее решение однородного уравнения (1.4) имеет вид

[pic 23]

Если дискриминант , то решение уравнения (1.4) записывается в комплексной форме, для этого необходимо найти коэффициенты [pic 24][pic 25]

[pic 26]

общее решение однородного уравнения (1.4) записывается в виде

[pic 27]

Перейдем к рассмотрению правой части линейного неоднородного дифференциального уравнения (1.1). Рассмотрим метод неопределенных коэффициентов. Здесь частное решение уравнения (1.1) подбирается по виду правой части - по виду функции  [pic 28]

I. Пусть правая часть уравнения

[pic 29]

представляет собой произведение показательной функции на многочлен, тогда частное решение имеет один из видов:

1. [pic 30]
2. [pic 31]
3. [pic 32]

Далее необходимо продифференцировать  частное решение уравнения (1.1). Количество дифференцирования частного решения равняется порядку производной в данном уравнении. Продифференцировав  n раз, подставляем полученные выражения в уравнение (1.1) и находим искомый коэффициента A.[pic 33]

Пример 1. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.