Линейные модели в теории дифференциальных уравнений

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

Линейные уравнения первого порядка…………………………………………..4

Метод Бернулли…………………………………………………………………...5

Метод Лагранжа…………………………………………………………………..8

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков………………….9

Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами………………………………………………………...….…....11

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами………………………………………………………………....15

Решения физических задач с использованием линейных уравнений…………...17

Заключение………………………………………………………………….……24

Литература……………………………………………………………………….25

Введение

При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие физические величины, но сравнительно легко устанавливается зависимость между теми же величинами, их производными или дифференциалами.

Таким образом, большинство физических явлений описывается на языке дифференциальных уравнений, содержащих неизвестные функции под знаком производной или дифференциала.

В работе рассматриваются понятия простейших линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка. Особое внимание уделяется изучению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Цель курсовой работы – изучить понятие линейных дифференциальных уравнений.

В связи с поставленной целью необходимо выполнить следующие задачи:

1) Рассмотреть понятие линейных дифференциальных уравнений;

2) Изучить линейные дифференциальные уравнения различных порядков;

3) Решить практические задания по поставленной теме;

4) Рассмотреть применение линейных дифференциальных уравнений при решении физических задач.

Предметом исследования работы: являются линейные дифференциальные уравнения.

Объектом исследования работы являются реальные процессы, описываемые данными дифференциальными уравнениями.

Линейные уравнения первого порядка. Так называют уравнения вида:

(*)

в которых коэффициенты P и Q суть функции только по x. Применим к его интегрированию способ Эйлера – способ введения произвольных функций. Положим

,

Где u и v – некоторые неизвестные функции от x.

Внося значение y в уравнение (*), получим

.

Функцию v выберем так, чтобы

или .

Подстановка v во второе уравнение дает

,

откуда

и следовательно, общий интеграл

.

Пример 1. .

Полагая , имеем

.

Выбираем функцию v так, чтобы

, т.е. .

Отсюда , следовательно,

,

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка запишем в виде

,(1)

где и – некоторые (непрерывные) функции переменной .

В случае, когда функция тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Особенность дифференциального уравнения (1) состоит в том, что искомая функция y и производная