Дифференциальные уравнения 1 порядка
Автор: Максим Максимович • Октябрь 8, 2021 • Контрольная работа • 1,164 Слов (5 Страниц) • 235 Просмотры
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Уральский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВО УрГУПС)
Кафедра «Естественнонаучные дисциплины»
Дисциплина «Математика»
Контрольная работа № 1
«Дифференциальные уравнения 1 порядка» Вариант 11
Проверил: Выполнил студент:
доцент, к.ф.-м.н. группы ПСгв-110
Мезенцев А.В. Кириллова Э.Е.
Екатеринбург, 2021
[pic 1]
Уравнение с разделяющимися переменными:
𝑦(𝑒𝑥 + 4)𝑑𝑦 − 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 0
𝑦(𝑒𝑥 + 4)𝑑𝑦 = 𝑒𝑥𝑑𝑥| ∗ 1[pic 2]
𝑒𝑥 + 4
𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑦𝑑𝑦 = 𝑒𝑥 + 4[pic 3]
𝑑𝑥(𝑒𝑥 + 4)
∫ 𝑦𝑑𝑦 = ∫[pic 4]
𝑦2
𝑒𝑥 + 4
= ln|𝑒𝑥 + 4| + 𝐶[pic 5]
2
[pic 6][pic 7]
Проверка:
𝑦2 ′
( − ln|𝑒𝑥 + 4|) 2[pic 8]
𝑒𝑥
= 𝐶′
𝑦𝑦′ −
[pic 9]
𝑒𝑥 + 4
= 0| ∗ (𝑒𝑥 + 4)𝑑𝑥
𝑦(𝑒𝑥 + 4)𝑑𝑥 − 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 0
Получено исходное ДУ – решение верное.
[pic 10]
Проверим на однородность: вместо 𝑥 и 𝑦 подставим 𝜆𝑥 и 𝜆𝑦
𝜆2𝑥2 + 𝜆2𝑥𝑦 − 𝜆2𝑦2
𝑦′ =
𝑦′ =
𝑦′ =
[pic 11]
𝜆2𝑥2 − 2𝜆2𝑥𝑦
𝜆2(𝑥2 + 𝑥𝑦 − 𝑦2)
[pic 12]
𝜆2(𝑥2 − 2𝑥𝑦)
𝑥2 + 𝑥𝑦 − 𝑦2
[pic 13]
𝑥2 − 2𝑥𝑦
Получено исходное ДУ – уравнение однородное. Проводим замену:
𝑦 = 𝑡𝑥; 𝑦′ = 𝑡′𝑥 + 𝑡
𝑥2 + 𝑡𝑥2 − 𝑡2𝑥2
𝑡′𝑥 + 𝑡 =[pic 14]
𝑥2 − 2𝑡𝑥2
𝑡′𝑥 + 𝑡 =
𝑡′𝑥 + 𝑡 =
𝑥2(1 + 𝑡 − 𝑡2)
[pic 15]
𝑥2(1 − 2𝑡) 1 + 𝑡 − 𝑡2
[pic 16]
1 − 2𝑡
𝑡′𝑥 =
1 + 𝑡 − 𝑡2
[pic 17]
1 − 2𝑡
− 𝑡
𝑡′𝑥 =
1 + 𝑡 − 𝑡2 − 𝑡 + 2𝑡2
[pic 18]
1 − 2𝑡
𝑑𝑡
1 + 𝑡2 𝑑𝑥(1 − 2𝑡)
𝑥 = | ∗[pic 19][pic 20]
𝑑𝑥 1 − 2𝑡
[pic 21]
𝑥(1 + 𝑡2)
𝑑𝑥 1 − 2𝑡
𝑥 = 1 + 𝑡2 𝑑𝑡[pic 22][pic 23]
𝑑𝑥 1 − 2𝑡
∫ 𝑥 = ∫ 1 + 𝑡2 𝑑𝑡[pic 24][pic 25]
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑(1 + 𝑡2)
∫ 𝑥 = ∫ 1 + 𝑡2 − ∫[pic 26][pic 27][pic 28]
1 + 𝑡2
ln|𝑥| = arctg 𝑡 − ln|1 + 𝑡2| + 𝐶 ln|𝑥| − arctg 𝑡 + ln|1 + 𝑡2| = 𝐶
...