Задачи по "Математике"
Автор: makpal01 • Апрель 8, 2018 • Задача • 522 Слов (3 Страниц) • 752 Просмотры
У=с1+с2ех
Мұндағы с1=с1(х), с2=с2(х) деп алып, бсрілген теңдеудің дербес шешімін мынадай түрде іздейміз:
у = с1(х)+с(х)ех
Белгісіз с1(х). С2(х) функцияларын төмендегі теңдеулер жүйесінен
==> [pic 1]
==>[pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
,[pic 5]
[pic 6]
Табылған с1(х), с2(х) мәндерін ізделінді шешімге қоямыз.
Сонда
у = ( –тұрақты шамалар).[pic 7][pic 8]
Бұл функция берілген теңдеудің жалпы шешімі болып табылады.
19 - мысал. Дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешіңдер:
[pic 9]
Шешуі: Жүйенің екінші теңдеуін х бойынша дифференциалдық, онда тендігі шығады. Бұл теңдіктің оң жағын бірінші теңдеумен алмастырамыз, сонда .[pic 10][pic 11]
Енді соңғы теңдіктің оң жағындағы у-ті пен алмастырсақ, бір белгісізі бар екінші ретті теңдейге келеміз: [pic 12]
(*)[pic 13]
Бұл теідеуге тәуелсізге тәуелсіз айнымалы х айқын түрде енбегендіктен, оның ретін төмендетуге болады. Бірақ бұл теңдеуді былайша жазып: zz’’-z’2=0 екі бірдей z2- қа бөлсек, Оңда төмендегідей теңдік шығады:
,[pic 14]
Осы теңдікті пайдаланып, (*) теңдеуді =0 түрінде жазуға болады. Бұдан =с1 немесе z1=c1z. Бұл айнымалылары бөләнетән теңдеу, оны .[pic 15][pic 16][pic 17]
Ескерту. Біз бұл мысалда теңдеулер жүйесін интегралданатын комбинациялар әдісімен шешейік.
20-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіндер:
.[pic 18]
Шешуі: Жүйенің үш теңдеуін мүшелеп қосайық: , [pic 19]
яғни
.[pic 20]
Енді жүйенің бірінші теңдеуін х-ке, екінші теңдеуін у-ке, ал үшінші теңдеуін -ке көбейтіп, мүшелеп қосайық. Сонда [pic 21]
,[pic 22]
.[pic 23]
Енді берілген теңдеулер жұйесінің үшінші теңдеуін t бойынша дифференциалдайық, сонда
теңдеуі шығады. [pic 24]
Бұл теңдеуді жүйенің алғашқы екі теңдеуін пайдаланып, былайша жазуға болады:
.[pic 25]
Мұндағы (х+у) өрнегін алғашқы интегралдан (х+у+) тауып, орнына қойсақ [pic 26][pic 27]
Тендеуі шығады. Пайда болған бұл теңдеу коэффициенттері тұрақты екінші ретті сызықтық теңдеу болып табылады. Анықтамаған каэфициенттер әдісімен оның шешімін табамыз, ол:
*t+*t[pic 28][pic 29]
Ал х және у белгісіз функцияларын табу ушін, х+у=,[pic 30]
x-y= тендіктерін пайдаланып, мынадай теңдеулер жүйесін шығарып аламыз:[pic 31]
=>[pic 32]
[pic 33]
Сонымен, берілген теңдеулер жүйесінің шешімі мынадай түрде жазылады:
...