Математическое моделирование

1)

Найти наибольшее значение функции F = 6x1 + 8Место для уравнения.x2 при следующих ограничениях:

{█(2x_1+3x_2≤36@4x_1+x_2≤48@x_1+x_2≤14@x_1,x_2≥0)┤

Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.

2 x1 + 3 x2 ≤ 36

Построим прямую: 2 x1 + 3 x2 = 36

Пусть x1 =0 => 3 x2 = 36 => x2 = 12

Пусть x2 =0 => 2 x1 = 36 => x1 = 18

Найдены координаты двух точек (0, 12) и (18 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).

Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.

4 x1 + x2 ≤ 48

Построим прямую: 4 x1 + x2 = 48

Пусть x1 =0 => x2 = 48

Пусть x2 =0 => 4 x1 = 48 => x1 = 12

Найдены координаты двух точек (0, 48) и (12 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).

Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.

x1 + x2 ≤ 14

Построим прямую: x1 + x2 = 14

Пусть x1 =0 => x2 = 14

Пусть x2 =0 => x1 = 14

Найдены координаты двух точек (0, 14) и (14 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (3).

Строим область допустимых решений:

Строим вектор С = (6, 8), координатами которого являются коэффициенты функции F. Функция F достигает наибольшего значения в точке A.

Точка A одновременно принадлежит прямым (1) и (3).

{█(2x_1+3x_2≤36@x_1+x_2≤14) => {█(x_1=6@x_2=8)┤┤

Вычислим значение функции F в точке A (6,8).

F_max = 6 * 6 + 8 * 8 = 100

2)

Найти максимальное значение целевой функции F(X) = 4x1+x2+5x3 при следующих условиях-ограничений:

{█(x_1+x_2+x_3≤8@2x_1+x_2+3x_3≤18@x_1,x_2,x_3≥0)┤

Для построения первого опорного плана приводим задачу к каноническому виду. Вводим в 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. Получаем:

{█(x_1+x_2+x_3+x_4=8@2x_1+x_2+3x_3+x_5=18@x_1,x_2,x_3,x_4,x_5≥0)┤

Получаем опорный план:

Базис B x1 x2 x3 x4 x5

x4 8 1 1 1 1 0

x5 18 2 1 3 0 1

F(x) 0 -4 -1 -5 0 0

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как имеет максимальное по модулю значение (5). 2я строка является ведущей:

Базис B x1 x2 x3 x4 x5 min

x4 8 1 1 1 1 0 8/1 = 8

x5 18 2 1 3 0 1 18/3 = 6

F(x1) 0 -4 -1 -5 0 0

Вместо переменной x5 в план 1 войдет переменная x3. Пересчитываем симплекс-таблицу относительно ведущих строки/столбца:

Базис B x1 x2 x3 x4 x5

x4 2 1/3 2/3 0 1 -1/3

x3 6 2/3 1/3 1 0 1/3

F(x1) 30 -2/3 2/3 0 0 5/3

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как имеет максимальное по модулю значение (2/3). 1я строка является ведущей:

Базис B x1 x2 x3 x4 x5 min

x4 2 1/3 2/3 0 1 -1/3 6

x3 6 2/3 1/3 1 0 1/3 9

F(x2) 30 -2/3 2/3 0 0 5/3

Вместо переменной x4 в план 2 войдет переменная x1. Пересчитываем симплекс-таблицу относительно ведущих строки/столбца:

Базис B x1 x2 x3 x4 x5

x1 6 1 2 0 3 -1

x3 2 0 -1 1 -2 1

F(x2) 34 0 2 0 2 1

Среди значений индексной строки нет отрицательных. План оптимален.

Ответ:

x1 = 6, x2 = 0, x3 = 2

F_max = 4*6 + 1*0 + 5*2 = 34

3) Математическая модель задачи:

Ограничения по запасам:

x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 450 (для 1 базы)

x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 370 (для 2 базы)

x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 400 (для 3 базы)

Ограничения по потребностям: