Контрольная работа по "Методы физического и математического моделирования"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НИЖНЕКАМСКИЙ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математики и информатики

Контрольная работа

по дисциплине: Методы физического и математического                    моделирования

Вариант 9

Выполнил: студент группы  

Проверил: доц. Садыков А.В.

г.  Нижнекамск, 2017 г.

Задача 1.  Решить систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей методом прогонки:                а)  вручную;                                                                                                б)  с помощью программы в QBasic:

[pic 1]

Решение.

а)  Прямая прогонка:

[pic 2]

[pic 3]

Вычислим прогоночные коэффициенты:  [pic 4]

[pic 5]                [pic 6]

[pic 7]        [pic 8]

[pic 9]        [pic 10]

[pic 11]                [pic 12]

Обратная прогонка.

Определим [pic 13] по формуле:  [pic 14].

Таким образом [pic 15]

Остальные неизвестные определим по формуле: [pic 16].

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Проверка: подставим полученные значения в одно из уравнений системы, например, в первое:

[pic 21]

Ответ:

х1=1,7798

х2 = 1,6604

х3 = -0,7892

х4=4,0228

х5 = 0,3257

б)   Программа

CLS

n = 5

DIM x(n), a(n), b(n), c(n), p(n - 1), q(n - 1)

b(1) = 3: c(1) = 1: d(1) = 7

p(1) = -c(1) / b(1)

q(1) = d(1) / b(1)

FOR i = 2 TO n - 1

    a(2) = 1: a(3) = 2: a(4) = 1

    b(2) = 4: b(3) = -4: b(4) = 5

    c(2) = -2: c(3) = 1: c(4) = -1

    d(2) = 10: d(3) = 10.5: d(4) = 19

    p(i) = -c(i) / (b(i) + a(i) * p(i - 1))

    q(i) = (d(i) - q(i - 1) * a(i)) / (a(i) * p(i - 1) + b(i))

NEXT i

a(5) = 1: b(5) = 3: d(5) = 5

x(n) = (d(n) - a(n) * q(n - 1)) / (a(n) * p(n - 1) + b(n))

FOR i = n - 1 TO 1 STEP -1

    x(i) = p(i) * x(i + 1) + q(i)

NEXT i: PRINT "reshenie"

FOR i = 1 TO n

    PRINT "x("; i; ")="; x(i)

NEXT i

PRINT "proverka"

FOR i = 2 TO n - 1

    z = a(i) * x(i - 1) + b(i) * x(i) + c(i) * x(i + 1) - d(i)

    PRINT "nesootvetstvie="; z; "dla uravnenia"; i

NEXT i

END

Результат вычисления на компьютере:

reshenie

x( 1 )=1.779816

x( 2 )= 1.660551

x( 3 )=- .7889907

x( 4 )= 4.022936

x( 5 )= .3256881

proverka

nesootvetstvie= 0 dla uravnenia 2

nesootvetstvie=0  dla uravnenia 3

nesootvetstvie=1.907349Е-06  dla uravnenia 4

Задача 2.  Дана краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения II порядка:        

        [pic 22]                                        

Здесь

[pic 23],   [pic 24],        [pic 25],   а=1;   b=1,3

        Найти численное решение задачи методом конечных разностей                                       ( при  n = 3  – вручную,  при  n = 5  –  с помощью программы)

        Полученные результаты представить графически.

Решение.

[pic 26]

[pic 27]

а) Решим вручную при n = 3.

[pic 28] – шаг.

Разобьем отрезок [pic 29] на части с шагом [pic 30]. Получим: [pic 31], где [pic 32] – конечные точки, [pic 33] – внутренние.

Преобразуем данное дифференциальное уравнение с учетом: [pic 34]

Получаем:   [pic 35]

Преобразуем полученное уравнение, умножив на [pic 36]:

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

Составим систему уравнений:

[pic 48]

 [pic 49]

Решим данную систему методом прогонки.

Прямая прогонка.

[pic 50]

Вычислим прогоночные коэффициенты:

[pic 51]

[pic 52]