Контрольная работа по "Математике"

Оглавление

Задача 4.        3

Задача 5.        3

Задача 4.        5

Задача 5.        6

Список литературы        8

Задача 4.

Случайные величины ξ и η независимы. Случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ = 5, а случайная величина η распределена по биномиальному закону с параметрами n =10 и р = 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию величины γ = 3ξ - 5η.

Решение

Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона равны параметру распределения:

Mξ = Dξ = λ = 5

Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения равны:

Mη = np = 10*0.4 = 4

Dη = np(1-p) = 10*0.4*0.6 = 2.4

По свойствам математического ожидания

Mγ = M(3ξ - 5η) = M(3ξ) - M(5η) = 15-20 = -5

По свойствам дисперсии

Dγ = D(3ξ - 5η) = 32D(ξ) + 52D(η) = 9*5+25*2.4 = 105

Задача 5.

Случайные величины ξ и γ имеют следующий совместный закон распределения:        

Р(ξ = -1; η = -1) =        1/12;

Р(ξ = -1; η = 0) =        1/6;

Р(ξ = -1; η = 1) =        1/12;

Р(ξ = 0; η = -1) =        1/6;

Р(ξ = 0; η = 0) =        5/12;

Р(ξ = 0; η = 1) =        1/12.

1) Выписать одномерные законы распределения случайных величин ξ
и η, вычислить математические ожидания Mξ, Mη; и дисперсии Dξ, Dη.

2) Найти ковариацию Соv(ξ,η) и коэффициент корреляции ρ(ξ,η).

3) Выяснить, зависимы или нет события {η = -1} и {ξ = 0}.

4) Составить условный закон распределения случайной величины
γ = (η|ξ = 0) и найти Мγ и Dγ.

Решение

Дан закон распределения двумерной случайной величины (ξ,η):

1) Найдем одномерный закон ξ:

= -1*1/3+0*2/3 = -1/3[pic 1]

= (-1)^2*1/3-(-1/3)^2 = 2/9[pic 2]

Найдем одномерный закон η:

= -1*1/4+0*7/12+1*1/6 = -1/12[pic 3]

= (-1)^2*1/4+(1)^2*1/6 – (-1/12)^2 = 59/144[pic 4]

2) Найдем ковариацию и коэффициент корреляции:

Mξη = -1*(-1*1/12+1*1/12) = 0

Ковариация

Соv(ξ,η) = Mξη- Mξ*Mη = -(-1/3*-1/12) = -1/36

Коэффициент корреляции:

 = (-1/36)/(2/9*59/144)^(1/2) = -0.092[pic 5]

3)  Исследуем на зависимость случайные события:

{η = -1} и {ξ = 0}

p(η=-1) = ¼

p(ξ=0) = 2/3

p(η=-1)*p(ξ=0) = ¼*2/3 = 1/6

p(η=-1; ξ=0) = 1/6

p(η=-1)*p(ξ=0) = p(η=-1;ξ=0) - случайные величины независимы

4) Составим условный закон распределения γ = (η|ξ = 0):

= -1*1/4+1*1/8 = -1/8[pic 6]

= (-1)^2*1/4+(1)^2*1/8-(-1/8)^2 = 0.359[pic 7]

Задача 4.

Случайные величины ξ и η имеют биномиальные распределения с параметрами n = 40 и р = 0,2 для величины ξ и n = 100 и р =0,1 для величины η.

Найти математическое ожидание и дисперсию величины γ = 10ξ - 2η, если известен коэффициент корреляции ρ(ξ. η) = -0.7.

Решение

Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения равны:

Mξ = np = 40*0.2 = 8

Dξ = np(1-p) = 40*0.2*0.8 = 6.4

Mη = np = 100*0.1 = 10