Хвильове рівняння

Хвильове рівняння

Воно зв’язує прискорення гармонічного осцилятора в середовищі з другою похідною його зміщення по координаті х, яка визначає положення осцилятора. В якій частині рівняння повинен бути множник с2, завжди легко визначити шляхом швидкої оцінки розмірності.

Ми ще не сказали, що означає швидкість с. Нижче ми побачимо, що с – це хвильова, чи фазова швидкість, тобто швидкість, з якою переміщуються площини однакової фази. У випадку струни ця швидкість виникає як відношення натягу до інерційної густини струни. Ми покажемо, що незалежно від типу хвиль хвильову швидкість завжди можна уявити як функцію пружності (зв’язаної з механізмом накопичення потенціальної енергії в середовищі) і інерції середовища (зв’язаної з накопиченням кінетичної або індуктивної енергії). У випадку поздовжніх хвиль в твердому тілі пружність характеризується модулем Юнга, а в газі – величиною γP, де γ – відношення приведених теплоємностей, а P – тиск газу.

Розв’язок хвильового рівняння

Розв’язок хвильового рівняння ......

Звичайно, буде функцією змінних х і t. Ми покажемо, що його розв’язком є будь-яка функція виду y=f1(ct–x). Крім того, розв’язком буде також будь-яка функція y=f2(ct+x), так що повний розв’язок в загальному випадку має вигляд суперпозиції y=f1(ct–x)+ f2(ct+x).

Якщо через f1' позначити похідну функції f1 по її аргументу ct–x, то ......

Крім того, ......

Звідки для y=f1(ct–x) отримаємо .......

Аналогічний результат справедливий для y=f2(ct+x). (Задача 4.1, 4.2)

Якщо y – зміщення в точці х в момент часу t осцилятора, який здійснює прості гармонічні коливання, то в силу сказаного в гл. 1 ми можемо  представити його у вигляді .... І дійсно, всі хвилі, які ми розглядаємо в цьому підручнику, будуть описуватися функціями синуса або косинуса, оскільки вони представляють собою плоскі хвилі.

Аргумент ct–x функції y=f(ct–x) має розмірність довжини. Для того, щоб ця функція могла бути синусом чи косинусом, її аргумент повинен мати розмірність кута і вимірюватися в радіанах. Тому різницю ct–x потрібно помножити на коефіцієнт 2π/λ, де λ – довжина хвилі, яку необхідно визначити.

Тепер ми можемо написати .......

в якості розв’язку хвильового рівняння, якщо 2πc/λ=ω=2πν, де ν – частота коливань, і φ=2πx/λ. Це означає, що якщо в момент часу t=0 сфотографувати осцилятори середовища, в якому вправо біжить хвиля, то траєкторія зміщень осциляторів (фіг. 58) буде описуватися виразом ....... Якщо ж ми  спостерігаємо за рухом осцилятора в точці х=0, то його зміщення буде описуватися функцією ......

Під дією хвилі, біжучої вправо, будь-який осцилятор, розміщений в деякій точці х справа, почне рух з деяким запізненням. Його рух буде описуватися виразом......

де φ - запізнення по фазі відносно осцилятора в точці х=0. Оскільки φ=2πx/λ , при х=λ фазовий зсув рівний 2π радіан, тобто запізнення рівне одному повному періоду коливань осцилятора.

[pic 1]

Фіг. . Профіль зміщення осциляторів в суцільному середовищі, в якому поширюється хвиля в додатному напрямку осі х.

Тим самим ми визначили λ як довжину хвилі – відстань між будь-якими двома осциляторами, які мають різницю фаз 2π радіан. Із виразу 2πc/λ=ω=2πν знаходимо величину c=νλ; це хвильова, чи фазова, швидкість, рівна похідній частоти на довжину хвилі. Таким чином, справедливим є відношення λ/c=1/ν=τ, де τ – період коливань, яке показує, що хвиля проходить відстань в одну довжину хвилі за час τ. Повз спостерігача, розташованого в будь-якій точці, за одну секунду проходить хвильовий  цуг, який містить ν довжин хвиль і має довжину, чисельно рівну швидкості хвилі с.