Апроксимація рішень диференційного рівняння за допомогою методу зважених нев'язок

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

«ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

Кафедра «Комп'ютерне моделювання процесів і систем»

ЗВІТ

з курсової роботи

на тему:

«Апроксимація рішень диференційного рівняння за допомогою методу зважених нев'язок»

Виконав студент групи І-26А                                              Паламарчук П.І.

Керівник проф.                                                                   Бреславський Д.В.

Харків 2018

Зміст

ВСТУП        3

1.        АПРОКСИМАЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ЗВАЖЕНИХ НЕВ’ЯЗОК        4

2.        МЕТОД ГАЛЬОРКІНА        6

3.        АПРОКСИМАЦІЯ РОЗВ’ЯЗКІВ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ І ВИКОРИСТАННЯ БАЗИСНИХ ФУНКЦІЙ        8

4.        ОДНОЧАСНА АПРОКСИМАЦІЯ РОЗВ’ЯЗКІВ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ І КРАЙОВИХ УМОВ        12

4.1. Поліноми Чебишова        13

5. НЕЛІНІЙНІ ЗАДАЧІ        19

ВИСНОВОК        24

СПИСОК ДЖЕРЕЛ ІНФОРМАЦІЇ        25

ВСТУП

Ключ до проблеми вирішення диференціальних рівнянь лежить в можливості отримання методів апроксимації функцій.

Припустимо, що потрібно апроксимувати задану функцію φ в деякій області Ω, обмеженій замкненою кривою Г. В задачах, що описуються диференціальними рівняннями, необхідно знайти рішення, яке задовольняє певним крайовим умовам. Тому спробуємо спочатку побудувати апроксимації, які на граничній кривій Г брали ті ж значення, що і φ. Якщо знайти деяку функцію ψ, приймаючу однакові з φ значення на Г, тобто , і ввести систему лінійно незалежних базисних функцій, таких, що  для всіх , то на Ω можна запропонувати апроксимацію для φ:[pic 1][pic 2][pic 3]

[pic 4]

де   - деякі параметри, що обчислюються таким чином, щоб отримати хороше наближення. Базисні функції цього типу іноді називають функціями форми або пробними функціями.[pic 5]

Спосіб визначення ψ і системи базисних функцій автоматично забезпечує той факт, що апроксимація має властивість  для будь-яких значень параметрів . Ясно, що система базисних функцій повинна бути обрана таким чином, щоб гарантувати поліпшення апроксимації при зростанні числа М використовуваних базисних функцій. Очевидне умова подібної збіжності апроксимації таке: система базисних функцій повинна володіти тим властивістю, що комбінація  при M → ∞ може як завгодно точно представляти довільну функцію φ, що задовольняє умові . Це так звана умова повноти; в ряді випадків її неважко перевірити.[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

Щоб продемонструвати цей загальний підхід до апроксимації функцій, розглянемо метод зважених нев'язок. [1, c. 40 – 41]

1. АПРОКСИМАЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ЗВАЖЕНИХ НЕВ’ЯЗОК

Спробуємо отримати загальний метод визначення постійних в апроксимації виду (0.1). Почнемо з введення похибки або нев’язки  в апроксимації, яка визначається за правилом[pic 10]

[pic 11]

Зауважимо, що  - це функція, що залежить від координат точки з Ω. Щоб зменшити цю нев’язку якимось всеосяжним способом на всій області Ω, вимагатимемо рівності нулю відповідного числа інтегралів від похибок, взятих з різними вагами, тобто[pic 12]

[pic 13]

Де - безліч лінійно незалежних вагових функцій. Тоді загальна вимога збіжності  при M → ∞ можна записати у формі умови виконання рівності (1.2) для всіх  при M → ∞.[pic 14][pic 15][pic 16]

Підставляючи в (1.2) вираз (0.1) для ,  бачимо, що система рівнянь методу зважених нев'язок (1.2) зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь для невідомих коефіцієнтів , яку можна записати в загальному вигляді[pic 17][pic 18]

[pic 19]

де

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Таким чином, якщо відома функція, що апроксимується φ, визначена функція ψ і вибрані відповідні системи базисних і вагових функцій, то, вирішуючи рівняння (1.3), можна отримати коефіцієнти в апроксимації (0.1).