Диференціальні рівняння з частинними похідними першого порядку
Автор: Анна Ильюшко • Декабрь 29, 2020 • Курсовая работа • 14,254 Слов (58 Страниц) • 376 Просмотры
Зміст
Вступ 4
Розділ 1. Диференціальні рівняння з частинними похідними першого
порядку 5
- Лінійні рівняння з частинними похідними другого порядку 6
- Метод характеристик розв’язування крайових задач для рівнянь математичної фізики 14
- Метод Функції Гріна 18
- Інтегральні рівняння 20
Розділ 2. Деякі спеціальні функції та їх основні властивості 26
Висновки……………………………………………………………………....34
Список рекомендованої літератури 35
Додатки………………………………………………………………………..37
ВСТУП
В багатьох випадках використовується описання за допомогою функцій двох або більше змінних [1]. Ці функції виявляються розв’язками диференціальних рівнянь з частинними похідними. Аналогічно до звичайних диференціальних рівнянь, порядком рівняння з частинними похідними називається найвищий порядок похідної, який входить до рівняння. Кількістю змінних рівняння є кількість незалежних аргументів невідомої функції. Рівняння називають лінійним, якщо воно має вигляд:
⎛ ∂u ∂mu ⎞
F ⎜ x1,..., xn,u ( x1,..., xn ), ,..., i i ⎟ = 0 ,[pic 1][pic 2]
∂x ∂x 1 ...∂x n
⎝ 1 1 n ⎠
а функція F (⋅) − лінійна відносно невідомої функції u та всіх її частинних похідних.
Таким чином, вказані об’єкти виявляються дуже важливими при вивченні структурних елементів курсової роботи.
Фахівцям дуже часто доводиться стикатися з задачами, в яких шукана величина залежить від декількох змінних, наприклад, u u(t, x, y,z) .
У цьому випадку розв'язувані диференціальні рівняння містять частинні похідні і називаються диференціальними рівняннями з частинними похідними [3; 10; 21; 23; 24].
Рівняннями з частинними похідними описується багато фізичних процесів у таких областях, як механіка суцільних середовищ, термодинаміка, квантова механіка, електродинаміка, теорія пружності і багато ін. Тому розділ математики, що вивчає можливість розв'язання диференціальних рівнянь із частинними похідними називається математичною фізикою, а рівняння – рівняннями математичної фізики.
РОЗДІЛ 1 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХІДНИМИ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
У загальному випадку таке рівняння має вигляд:
⎛ ∂u ∂u ⎞
f ⎜ x1,..., xn ,u, ∂x[pic 3]
,...,
∂x[pic 4]
⎟ = 0 .
⎝ 1 n ⎠
Лінійне однорідне диференціальне рівняння з частинними похідними першого порядку записується у вигляді:
f ( x ,..., x[pic 5][pic 6]
) ∂u + f
( x ,..., x
) ∂u
+ ... + f
( x ,..., x
) ∂u
= 0 ,
1 1 n ∂x 2 1[pic 7]
n ∂x
n 1 n ∂x
...