Диференціальні рівняння з частинними похідними першого порядку

Зміст

Вступ        4

Розділ 1. Диференціальні рівняння з частинними похідними першого

порядку        5

1. Лінійні рівняння з частинними похідними другого порядку        6
2. Метод характеристик розв’язування крайових задач для рівнянь математичної фізики        14
3. Метод Функції Гріна        18
4. Інтегральні рівняння        20

Розділ 2. Деякі спеціальні функції та їх основні властивості        26

Висновки……………………………………………………………………....34

Список рекомендованої літератури        35

Додатки………………………………………………………………………..37

ВСТУП

В багатьох випадках використовується описання за допомогою функцій двох або більше змінних [1]. Ці функції виявляються розв’язками диференціальних рівнянь з частинними похідними. Аналогічно до звичайних диференціальних рівнянь, порядком рівняння з частинними похідними називається найвищий порядок похідної, який входить до рівняння. Кількістю змінних рівняння є кількість незалежних аргументів невідомої функції. Рівняння називають лінійним, якщо воно має вигляд:

⎛        ∂u        ∂mu        ⎞

F ⎜ x1,..., xn,u ( x1,..., xn ),        ,...,        i        i   ⎟ = 0 ,[pic 1][pic 2]

∂x        ∂x 1 ...∂x n

⎝        1        1        n   ⎠

а функція F (⋅) − лінійна відносно невідомої функції u та всіх її частинних похідних.

Таким чином, вказані об’єкти виявляються дуже важливими при вивченні структурних елементів курсової роботи.

Фахівцям дуже часто доводиться стикатися з задачами, в яких шукана   величина    залежить    від    декількох    змінних,    наприклад,   u  u(t, x, y,z) .

У цьому випадку розв'язувані диференціальні рівняння містять частинні похідні і називаються диференціальними рівняннями з частинними похідними [3; 10; 21; 23; 24].

Рівняннями з частинними похідними описується багато фізичних процесів у таких областях,        як механіка         суцільних середовищ, термодинаміка, квантова механіка, електродинаміка, теорія пружності і багато ін. Тому розділ математики, що вивчає можливість розв'язання диференціальних        рівнянь із частинними         похідними        називається математичною фізикою, а рівняння – рівняннями математичної фізики.

РОЗДІЛ 1 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ        РІВНЯННЯ         З        ЧАСТИННИМИ         ПОХІДНИМИ        ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

У загальному випадку таке рівняння має вигляд:

⎛        ∂u        ∂u ⎞

f ⎜ x1,..., xn ,u, ∂x[pic 3]

,...,

∂x[pic 4]

⎟ = 0 .

⎝        1        n ⎠

Лінійне однорідне диференціальне рівняння з частинними похідними першого порядку записується у вигляді:

f ( x ,..., x[pic 5][pic 6]

) ∂u + f

( x ,..., x

) ∂u

+ ... + f

( x ,..., x

) ∂u

= 0 ,

1        1        n    ∂x        2        1[pic 7]

n ∂x

n        1        n ∂x