Чисельні методи наближеного розв'язування алгебраїчних рівнянь

Рівненський державний гуманітарний університет

Кафедра вищої математики

КУРСОВА РОБОТА

 з вищої математики

на тему:  «Чисельні методи наближеного розв'язування алгебраїчних рівнянь»

Студента ІІІ курсу групи МЕІ-31

напряму підготовки  6.040201 «Математика»

Данилюка В.Ю.

Керівник: канд. фіз.-мат. наук, доцент

Крук С.В.

                                                       Національна шкала _____________

                                                       Кількість балів: ______

                                                       Оцінка: ECTS _____

                              Члени комісії:  _____________         ____________________

        (підпис)         (прізвище та ініціали)

                        _____________         ____________________

        (підпис)         (прізвище та ініціали)

                 _____________         ____________________

        (підпис)         (прізвище та ініціали)

м. Рівне – 2017 рік

Зміст

Вступ.................................................................................................................................3

Розділ І. Чисельні методи розв'язування алгебраїчних завдань.................................4

   1.1. Метод десяткових випробувань (метод Горнера)..............................................4

   1.2. Метод ланцюгових дробів (метод Лагранжа).....................................................6

1.3. Метод хорд  (метод лінійної інтерполяції).........................................................9

1.4. Метод дотичних (метод Ньютона).....................................................................10

   1.5. Метод ітерацій.....................................................................................................12

  1.6. Метод   Лобачевського.........................................................................................14         Висновок........................................................................................................................20Література......................................................................................................................21

Вступ

   Розглядаючи чисельні методи наближеного розв'язування рівнянь, ми будемо широко застосовувати факти і методи математичного аналізу, що стосуються властивостей неперервних функцій. Графічні методи розв'язування алгебраїчних рівнянь порівняно з чисельними потребують менших витрат часу, але дають, як правило, менш точні результати. Проте ці результати в ряді випадків задовольняють потреби виробництва, і тому графічні методи досить поширені на практиці.

    У даній курсовій роботі метою є розглянути та проаналізувати різні методи наближеного розв'язування алгебраїчних рівнянь.

    Об’єктом дослідження є аналіз та застосування методів наближенного розв'язування алгебраїчних рівнянь.

    Виходячи із мети можна сформувати завдання курсової роботи:

1. Ознайомитись із методами наближенного розв'язування алгебраїчних завдань.

2. Проаналізувати методи наближенного розв'язування алгебраїчних      завдань.

I. Чисельні методи розв'язування алгебраїчних завдань

1.1. Метод десяткових випробувань (метод Горнера).

    Схе́ма Го́рнера (або правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм обчислення значення многочлену, записаного у вигляді суми одночленів, при заданому значенні змінної. Метод Горнера дозволяє знайти корені многочлену, а також обчислити похідні поліному в заданій точці. Схема Горнера також є простим алгоритмом для ділення многочлена на біном у вигляді (X – C) . Метод названий на честь Вільяма Джорджа Горнера.

    Нехай маємо алгебраїчне рівняння f(x)=0, де многочлен з дійсними коефіцієнтами f(x) має лише прості корені. Застосовуючи один з методів відокремлення дійсних коренів (наприклад, Штурма), знайдемо інтервал (c,c+1), cZ, в якому знаходиться один дійсний простий корінь многочлена f(x). Поділимо інтервал на 10 рівних частин і виберемо ту частину, в якій знаходиться корінь. Ця частина характеризується тим, що  f(x) на її кінцях має значення різних знаків. Цей інтервал знову поділимо на 10 рівних частин і виберемо ту, в якій знаходиться корінь. Взявши за значення кореня одну з точок знайденого інтервалу (наприклад, середню), отримаємо наближення з точністю до 10-2 , але цей процес можна продовжити для досягнення більшої точності. Це т.з. метод десяткових випробувань. Його недоліком є те, що доводиться виконувати обчислення з десятковими дробами. Щоб позбавитися цього, можна на кожному кроці збільшувати інтервал в 10 разів. Нехай корінь многочлена    f(x)=anxn+…+a1x+a0 знаходиться  в інтервалі  (c,c+1) . Розкладемо f(x) за степенями x–c , скориставшись схемою Горнера: