Методи розв’язування рівнянь з параметрами

Іванюк Ю.С.

Науковий керівник – асистент.

Сухойваненко Л.Ф.

МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ З ПАРАМЕТРАМИ

Анотація: У статті розглянуто методи розв’язування рівнянь з параметрами, наведено конкретні приклади.

Ключові слова: параметр, рівняння, аналітичний метод, геометричний метод.

          Вивчення багатьох фізичних явищ, процесів і геометричних перетворень тісно пов’язані з розв’язуванням задач із параметрами. Інтерес до них не випадковий. За свідченнями науковців та методистів, до середини 60-х років минулого століття такі задачі зустрічались у шкільній практиці та пропонувались до вирішення на вступних іспитах епізодично. Отримання знань та навичок розв’язування складних, нестандартних завдань, в тому числі і задач з параметрами, і на сьогодні залишається актуальним.

          Завдання з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення та математичної культури у школярів, але їх розв’язок викликає в них значні труднощі. Це пов’язане з тим, що кожне рівняння з параметром  представляє собою цілий клас звичайних рівнянь, для кожного з яких має бути отримано розв’язок. Дані завдання з кожним роком зустрічаються на різноманітних математичних конкурсах та на зовнішньому незалежному оцінюванні.

          Статистика результатів ЗНО декількох минулих років показує, що сааме задачі з параметрами рідше всього виступають задачами, в яких випускники пробують свої сили, виражають свою математичну підготовку. В чому причина не популярності таких задач? Не секрет, що задачі з параметрами хоч і використовують доступні будь – якому учню теоретичні знання, але практично мало розв’язуються у шкільному курсі математики, а тимбільше далеко не завжди виносяться на розгляд при підготовці до підсумкової атестації. Проте задачі з параметрами зустрічаються майже в усіх варіантах ЗНО. Лише 2–3% учнів розв’язують їх вірно.

           Різноманітність задач із параметрами охоплює весь курс шкільної математики. Володіння прийомами розв'язання задач із параметрами можна вважати критерієм знань основних розділів шкільної математики, рівня математичного й логічного мислення.

           У задачах, які описують реальні фізичні процеси, досить часто крім невідомих зустрічаються величини, які називаються параметрами. Їх, як правило, позначають літерами і т.д., а невідомі  і т.д. [pic 1][pic 2]

           В літературі рівняння з параметром означається наступним чином: «Рівняння з параметром – це рівняння до запису якого крім змінної та числових коефіцієнтів входять буквені коефіцієнти, які є величинами, значення яких не вказано конкретно, але вони вважаються відомими та заданими на деякій числовій множині.

           В основу розв’язування задач з параметрами покладено такий принцип: значення параметра (або параметрів) вважається довільно фіксованим і розв’язок задачі знаходиться традиційними методами. Проте наявність параметрів у задачі передбача є обов’язкове дослідження існування розв’язку залежно від конкретних числових значень параметрів. Дані задачі, таким чином, розглядаються як ціла множина рівнянь, нерівностей або їх систем, які отримують, коли параметри набувають конкретних значень. Форма запису відповіді у задачах з параметрами має спеціальний вигляд: значення невідомих вказуються для кожного допустимого значення параметрів.

          Для розв’язування задач з параметрами необхідні ґрунтовні знання властивостей елементарних функцій, рівносильних перетворень рівнянь, нерівностей та їх систем.

          Під час розв’язування рівнянь з параметрами необхідно розглянути загальні методи розв’язування рівнянь з параметрами, а саме: алгебраїчний (аналітичний) та графічний.

          Перший спосіб розв'язання таких рівнянь це – аналітичний метод. Аналітичний метод розв'язання задач із параметром є найважчим способом, що вимагає високої грамотності та найбільших зусиль в оволодінні ним.