Розв’язування систем нелінійних рівнянь методом Ньютона

Міністерство освіти та науки України

Національний університет «Львівська політехніка»

Інститут прикладної математики та фундаментальних наук

Кафедра прикладної математики

Курсова робота

на тему:

«Розв’язування систем нелінійних рівнянь методом Ньютона»

Виконав:

студентка групи ПМ-42

Стадник Х.Р.

Перевірив:

доцент кафедри ПМ

Пізюр Я. В.  

Львів – 2020

Анотація

Розглянуто системи нелінійних алгебраїчних рівнянь, методи їх розв’язування: метод Ньютона та модифікований метод  Ньютона. Знайдено розв’язки систем рівнянь за допомогою програмного середовища.

Зміст

Вступ

Розділ 1. Системи нелінійних рівнянь

Розділ 2. Метод Ньютона для розв’язування системи нелінійних рівнянь

Розділ 3. Модифікований метод Ньютона для розв’язування системи нелінійних рівнянь

Розділ  4. Блок-схема алгоритму методу Ньютона

Розділ 5. Приклади розв’язування систем нелінійних рівнянь за допомогою програмного середовища

Висновок

Список використаної літератури

Додаток

Вступ

З розвитком нової обчислюваної техніки інженерна практика наших днів більш часто зустрічається з математичними задачами, точне вирішення яких отримати досить складно чи неможливо. В цих випадках звичайно застосовують ті чи інші наближенні обчислення.

Нові обчислювальні засоби спричинили переоцінку відомих методів вирішення задач з точки зору доцільності їх реалізації на ЕОМ і стимулювали створення більш ефективних.

Багато прикладних задач призводять до необхідності знаходження спільного розв’язування системи нелінійних рівнянь. Загального аналітичного рішення системи нелінійних рівнянь не знайдено. Існують лише чисельні методи.

Задача пошуку кореня системи рівняння може вважатися практично вирішеною, якщо ми зуміємо визначити корінь з потрібним ступенем точності і вказати межі можливої погрішності. Умови збіжності метода Ньютона для системи досліджувалися Виллерсом, Стениним, Канторовичем.

У наш час розв’язування систем нелінійних рівнянь досить актуальна тема, адже її можна застосовувати на практиці для розв’язування кола задач. Ось чому наближені та чисельні методи математичного аналізу отримали широкий розвиток і набули виключно важливе значення. 

У даній курсовій роботі буде описано методи розв’язування систем нелінійних рівнянь, а також продемонстровано на практиці розв’язування системи рівнянь методом Ньютона та написання програми до цього методу.

Метод Ньютона є фундаментальним інструментом в чисельному аналізі, дослідженні операцій, оптимізації і управлінні. У нього є безліч додатків до інженерних, фінансових і статистичних завдань. Його роль в оптимізації неможливо переоцінити: більшість найбільш ефективних методів в лінійному і нелінійному програмуванні будуються на його основі.

Розділ 1. Системи нелінійних рівнянь

Задачі, які виникають при математичній обробці результатів вимірювання, як правило, зводяться до рішення нелінійних систем алгебраїчних або трансцендентних рівнянь:

[pic 1]                                                   (1)

Тут  [pic 2] - невідомі змінні , а система (1.1) називається звичайною системою порядку [pic 3], якщо хоча б одна з функцій [pic 4] нелінійна.

Розв‘язування нелінійних систем рівнянь поділяється на два етапи:

• знаходження приблизного рішення системи;
• уточнення приблизного рішення.

Для знаходження приблизного значення коренів системи рівнянь не існує загальних методів. Завжди кожна нелінійна система повинна розглядатися як спеціальна задача.