Найпростіші диференціальні рівняння

1. Найпростіші диференціальні рівняння.

Рівняння, яке містить незалежну зміну, шукану функцію і похідні цієї функції. називають диференціальним.

Рішенням диференціального рівняння називається всяка функція, яка перетворює дане рівняння в тотожність.

Означення: Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить незалежну змінну х, шукану функцію у і її похідні у /, у //, ...,у(n).

Символічно диференціальне рівняння записується так:                                               [pic 1]                                                                                       (1)

Означення: Порядком диференціального рівняння називається найбільший порядок похідних, які входять в дане рівняння.

Наприклад: [pic 2]- рівняння першого порядку, [pic 3]- рівняння третього порядку.

Означення: Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду     [pic 4]                                 (2)  

 Розв’язуючи рівняння (2), якщо це можливо, відносно похідної у/, отримуємо                            [pic 5]                         (3)  

Означення: Рівняння (3) називається рівнянням першого порядку, розв’язаним відносно похідної.

 Іноді рівняння (2), (3) записують в диференціалах:

[pic 6]                 (4)

Означення: Всяке окремо взяте рішення диференціального рівняння називається його частинним розв’язком.

Для багатьох диференціальних рівнянь першого порядку можна вказати формулу виду:           [pic 7], або [pic 8],                   (5)

Означення: Функція, яка задана формулою (5), представляє загальний розв’язок диференціального рівняння (2) або (3), якщо при будь-якому значенні С ця функція є рішенням рівняння (2), відповідно (3), і будь-який його частинний розв’язок може бути отримано з (5) при деякому значенні сталої С, тобто рівняння (5) становить всю сукупність рішень даного рівняння.

Означення: Вираз [pic 9] або [pic 10] в цьому випадку називають інтегралом (частинним, загальним) диференціального рівняння.

Означення: Задача знаходження частинного розв’язку диференціального рівняння, яке задовольняє початковим умовам, називається задачею Коши.

У випадку диференціального рівняння першого порядку задача Коши формулюється наступним чином: знайти розв’язок [pic 11] рівняння [pic 12], яке задовольняє при заданих початкових даних [pic 13] початковій умові [pic 14], або, в іншому запису, [pic 15], де [pic 16]- задані числа.

Означення: Диференціальне рівняння називається рівнянням з відокремленими змінними, якщо має наступний вид: [pic 17]     (8)

Теорема 1: Якщо функція [pic 18] неперервна в інтервалі [pic 19], функція [pic 20]і її похідна по у неперервні в інтервалі [pic 21], то для будь-яких початкових даних [pic 22] існує, причому єдине, розв’язання [pic 23] рівняння (8), яке задовольняє початковій умові [pic 24].

Означення: Рівняння виду (9) називається рівнянням з відокремленими змінними.

Теорема 2: Якщо існують інтеграли [pic 25] і [pic 26], то спільний інтеграл рівняння з відокремленими змінними (9) задається рівнянням [pic 27]  (10), де [pic 28]- деякі первісні відповідно функцій[pic 29].