Контрольная работа по "Теория вероятностей и математическая статистика"

Задание 1. По статистическим данным в городе 14% пенсионеров, среди которых каждый двухсотый верит «некачественной» рекламе. Какова вероятность того, что хотя бы два пенсионера поверят такой рекламе, если в городе население составляет 10000 человек?

Решение.

Известно, что [pic 1] – вероятность того, случайно выбранный пенсионер поверит «некачественной» рекламе.

В городе, население которого составляет 10000 человек, проживает 14% пенсионеров, т.е. [pic 2]. Требуется определить вероятность того, что хотя бы два пенсионера поверят некачественной рекламе (т.е. или 2, или 3, …, или 1400). Так как [pic 3], для вычисления соответствующих вероятностей применяем формулу Пуассона: [pic 4].

Событию [pic 5] – хотя бы два пенсионера поверят «некачественной» рекламе – противоположным является событие [pic 6] – менее двух пенсионеров поверят «некачественной» рекламе. Вычислим вероятности для [pic 7], [pic 8]:

[pic 9];

[pic 10].

Тогда искомая вероятность того, что хотя бы два пенсионера поверят «некачественной» рекламе

[pic 11].

Ответ: [pic 12].

Задание 2. Сумма вклада клиента сберегательного банка – это случайная величина, распределенная по биномиальному закону с математическим ожиданием 15 тыс. руб. и дисперсией 0,4.

1) Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что сумма вклада наудачу взятого вкладчика будет заключена в границах от 14 тыс. руб. до 16 тыс. руб.

2) Найти ту же вероятность, используя следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Решение.

Известно, что случайная величина имеет биномиальное распределение, для которого справедливы равенства [pic 13], [pic 14].

1) Применим неравенство Чебышева

[pic 15].

В этой формуле [pic 16], [pic 17], [pic 18]. Вычислим нужную вероятность:

[pic 19].

2) Найдем ту же вероятность, используя интегральную теорему Муавра-Лапласа: [pic 20], где [pic 21], [pic 22].

Тогда имеем [pic 23]; [pic 24].

[pic 25]

Ответ: 1) [pic 26]; 2) [pic 27].

Задание 3. Случайная величина [pic 28] имеет нормальный закон распределения с параметрами [pic 29] и [pic 30]. Найти параметры, если известно, что [pic 31] и [pic 32]. Вычислить вероятность того, что значение случайной величины X окажется меньше 2.

Решение.

По условию задачи [pic 33]; [pic 34]; [pic 35]; [pic 36]; [pic 37]; [pic 38].

Используем формулу для расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины:

[pic 39].

В первом случае при [pic 40]; [pic 41]; [pic 42] получаем

[pic 43];

[pic 44];

[pic 45];

[pic 46].

По таблице приложений найдем, [pic 47], ⇒ [pic 48].

С другой стороны, имеем, что при [pic 49]; [pic 50]; [pic 51] получаем

[pic 52];

[pic 53];

[pic 54];

[pic 55];

[pic 56].

По таблице приложений найдем, [pic 57], ⇒ [pic 58].

Вероятность попадания случайной величины [pic 59], распределенной по нормальному закону, в интервал [pic 60], определяется по формуле: