Шпаргалка по "Линейной алгебре"

1.Матрицы. Алгебра матриц.

Прямоугольной матрицей порядка mxn называется таблица из mn чисел с m строками и n столбцами. Обозн-ся   или Amn=||aij|| Amn=[aij][pic 1]

Число aij наз-ся эл-м матрицы А i-номер строки, j-столбца

ОПР: матрица А наз-ся квадратной если у нее число строк равно числу столбцов i=j при этом число n наз-ют числом порядка, н-р: матрица 3-го пор-ка.

ОПР:  Главной диагональю кв матрицы наз-ют совокупность чисел а11 а22 а33...аnn

Побочная диагональ кВ матрицы- сов-ть чисел а1n a2(n-1)…an1

Нулевая матрица- матрица, все эл-ты котор равны 0 [pic 2]

Единичная матрица (Е) – наз-ся кВ матрица, все эл-ты котор на главн диаогонали равны 1 а ост 0.  [pic 3]

Квадратная матрица А наз-ся верхнетреугольной, если все ее эл-ты стоящие под главной диагональю равны 0.

Квадратная матрица А наз-ся нижнетреугольной, если все ее эл-ты стоящие над главной диагональю равны 0.

КВ матрица А наз-ся симметричной, если ее эл-ты симметричны относ-но гл диагонали.

Матрица, сост-щая из 1 строки наз-ся вектор-строкой, а из 1 столбца вектор-столбцом. 

2.Определители 2-го и 3-го порядка. Линейные преобразования.

Опр: число а11*а22-а12*а21 матрицы А т.е разность между произведением эл-тов главной и побочной диагональю наз-ся определителем (детерминантом) и обозн-ся: |detA|=[pic 4]

Аналогично определитель  3-го пор-ка соответствующ матрице А вычисл-ся по формуле:

[pic 5]

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ:

[pic 6][pic 7]

3.Обратное преобразование. Обратная матрица.

Отображение пл-ти х10х2 на пл-ть у10у2 яв-ся однозначным, т.к каждой точке м(х1, х2) пл-ти х10х2 соотв-т единственная точка М*(у1, у2) пл-ти у10у2, где координаты  р-м обратн преобраз-е, т.е найдем координаты х1, х2 через у1,у2:[pic 8]

 =˃   [pic 9][pic 10]

Аналогично, умножая сист (1) на соотв-щие коэфф получаем [pic 11]

Обозначим Δ=││  Δ≠0[pic 12]

   (4)[pic 13][pic 14]

обратн преобраз-е (4) т.ж яв-ся линейным, тогда каждой точке пл-ти у10у2 будет соотв-ть единств точка пл х10х2, в этом случае отображений (1) наз-ся взаимооднозначным невыражденным

Обратная матрица.

ОПР: матрица обратного преобразования для матрицы А наз-ся обратной матрицей и обоз-ся А-1. Т.е [pic 15]

ОПР2: обратное матрицей для матрицы А, наз-ся такая матрица, что А-1*А=Е, где Е-единичн матрица

Для выражденных матриц (где дет=0) – обратной матрицы не сущ-т

Матрица составл-я из алг доп-ний матрицы А, вида: А*= наз-ся присоединенной, где Аij – алг доп-е [pic 16]

Нахождение обратн матрицы

1.По ф-ле [pic 17]

2.Метод эл-х преобразований. Метод Гаусса:

1)Перестановка строк(столбцов)

2)Умножение строки (столбца) на число к≠0

3)Прибавл к эл-м строки(столбца) соответ-х эл-в др строки (столбца) умнож-е на некоторое число к.

Для себя!!(матрица|единичн матр) привести 1-ю матрицу к Е)

4.Перестановки. Подстановки.

Перестановки. число различных перестановок без повторений равно Pn=n!

Если множество М сост из q различных эл-тов повтор-ся i1, i2…iq – раз, т-е всего эл-тов n= i1+ i2+…+iq=[pic 18]

Тогда число различн перестановок М вычисл-ся по ф-ле: Cn(i1, i2…iq)= [pic 19]

Сочетания. любое подмнож-во из m эл-тов выбранное из множ-ва М сост из n эл-тов. Наз-ся сочетанием и обознач: [pic 20]

Размещение. Любой кортеж длинной m выбранный из множ-ва М сост из n эл-тов наз-ся размещением.    [pic 21]

Т-ма: все n! перестановок из n различных символов можно расположить в таком порядке, что каждая следующая будет получ-ся из предыдущей одной транспозицией, причем начинать можно с любой перестановки.

...