Задачи по "Линейной алгебре"
Автор: BSV.BEV76 • Апрель 20, 2018 • Задача • 1,156 Слов (5 Страниц) • 594 Просмотры
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
1 - 10. Дана система линейных уравнений
[pic 1].
Исследовать ее на совместность и в случае совместности решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по формулам Крамера.
1. [pic 2]
Решение.
Совместность данной системы проверим, используя теорему Крамера, а именно: если главный определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение.
Находим главный определитель системы:
[pic 3]
т.к. главный определитель системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение.
Решим заданную систему:
а) Методом Гаусса.
C помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу системы [pic 4]приведем к следующему виду:
[pic 5]
Т.к. [pic 6] то система совместна и имеет решение. Полученной матрице существует система
[pic 7]
Которая эквивалентна исходной. Из данной системы следует, что
[pic 8]
б) Для нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX=B, где
[pic 9], [pic 10], [pic 11].
Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид [pic 12], где [pic 13]- матрица, обратная матрице [pic 14]. Найдем матрицу [pic 15] по формуле
[pic 16], где [pic 17], [pic 18]- алгебраическое дополнение к элементу [pic 19].
[pic 20] | [pic 21] | [pic 22] |
[pic 23] | [pic 24] | [pic 25] |
[pic 26] | [pic 27] | [pic 28] |
Обратная матрица имеет вид: [pic 29].
Итак:
[pic 30]
Итак, решение системы: [pic 31]
в) По формулам Крамера [pic 32] где [pic 33]– главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных;
[pic 34]– определитель системы, полученный путем замены i-го столбца главного определителя системы столбцом свободных членов:
[pic 35]
[pic 36]
[pic 37][pic 38]
Находим решение системы [pic 39]
Ответ: [pic 40]
11-20. Даны векторы [pic 41], [pic 42], [pic 43] и [pic 44] в некотором декартовом базисе. Показать, что векторы [pic 45] образуют базис и найти координаты вектора [pic 46] в этом базисе.
11.[pic 47], [pic 48], [pic 49], [pic 50];
Решение.
Базисом в пространстве называются три упорядоченных некомпланарных вектора.
Векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. Для компланарности ненулевых векторов [pic 51] необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю, т. е. [pic 52]
Если [pic 53] [pic 54] [pic 55] то смешанное произведение в координатной форме:
[pic 56]
Находим:
[pic 57]
Т.к. смешанное произведение векторов [pic 58], то векторы некомпланарны, т.е. образуют базис в трехмерном пространстве.
б) Найдем координаты вектора [pic 59] в этом базисе.
Для разложения вектора [pic 60] по базису [pic 61] составим векторное равенство
[pic 62]
или в координатной форме
[pic 63]
Задача сведена к решению системы
[pic 64]
по формулам Крамера.
Матрица коэффициентов и матрица-столбец свободных членов данной системы:
...