Essays.club - Получите бесплатные рефераты, курсовые работы и научные статьи
Поиск

Задачи по "Линейной алгебре"

Автор:   •  Апрель 20, 2018  •  Задача  •  1,156 Слов (5 Страниц)  •  460 Просмотры

Страница 1 из 5

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1 - 10. Дана система линейных уравнений

[pic 1].
Исследовать ее на совместность и в случае совместности решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по формулам Крамера.

1. [pic 2]

Решение.

Совместность данной системы проверим, используя теорему Крамера, а именно: если главный определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение.

Находим главный определитель системы:

[pic 3]

т.к. главный определитель системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение.

Решим заданную систему:

а) Методом Гаусса.

C помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу системы [pic 4]приведем к следующему виду:

[pic 5]

Т.к. [pic 6] то система совместна и имеет решение. Полученной матрице существует система

[pic 7]

Которая эквивалентна исходной. Из данной системы следует, что

[pic 8]

б) Для нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX=B, где

[pic 9],       [pic 10],        [pic 11].

Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид [pic 12], где [pic 13]- матрица, обратная матрице [pic 14]. Найдем матрицу [pic 15] по формуле

[pic 16], где [pic 17], [pic 18]- алгебраическое дополнение к элементу [pic 19].

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Обратная матрица имеет вид: [pic 29].

Итак:

[pic 30]

Итак, решение системы: [pic 31]

в) По формулам Крамера [pic 32] где [pic 33]– главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных;

[pic 34]– определитель системы, полученный путем замены i-го столбца главного определителя системы столбцом свободных членов:

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37][pic 38]

Находим решение системы [pic 39]

Ответ: [pic 40]


11-20. Даны векторы [pic 41], [pic 42], [pic 43] и [pic 44] в некотором декартовом базисе. Показать, что векторы [pic 45] образуют базис и найти координаты вектора [pic 46] в этом базисе.

11.[pic 47], [pic 48], [pic 49], [pic 50];

Решение.

Базисом в пространстве называются три упорядоченных некомпланарных вектора.

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. Для компланарности ненулевых векторов [pic 51] необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю, т. е. [pic 52]

Если [pic 53] [pic 54] [pic 55] то смешанное произведение в координатной форме:

[pic 56]

Находим:

[pic 57]

Т.к. смешанное произведение векторов [pic 58], то векторы некомпланарны, т.е. образуют базис в трехмерном пространстве.

б) Найдем координаты вектора [pic 59] в этом базисе.

Для разложения вектора [pic 60] по базису [pic 61] составим векторное равенство

[pic 62]

или в координатной форме

[pic 63]

Задача сведена к решению системы

[pic 64]

по формулам Крамера.

Матрица коэффициентов и матрица-столбец свободных членов данной системы:

...

Скачать:   txt (9.9 Kb)   pdf (2.5 Mb)   docx (1.8 Mb)  
Продолжить читать еще 4 страниц(ы) »
Доступно только на Essays.club