Контрольное задание по "Линейной алгебре и аналитической геометрии"

Контрольное задание по линейной алгебре и аналитической геометрии

        Вариант для контрольного задания студент выбирает в соответствии с последней цифрой номера (шифра) своей зачетной книжки. Если шифр заканчивается нулем, то выполняется вариант 10.

        Каждый вариант состоит из десяти типовых заданий. Приводим описание заданий.

        Задание 1. Найти произведение заданных матриц А и В.

        Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.

        Задание 3. Показать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис в пространстве R3, и найти координаты вектора а в этом базисе.

        Задание 4. Определить ранг заданной матрицы.

        Задание 5. Привести систему к системе с базисом методом Жордана−Гаусса и найти одно базисное решение.

        Задание 6. Найти два опорных решения канонической системы уравнений.

        Задание 7. Найти собственные значения и собственные векторы данной матрицы.

        Задание 8. Даны вершины треугольника АВС. Найти уравнения его сторон и точку пересечения высот.

        Задание 9. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить линию.

        Задание 10. Построить график заданной кривой.

Вариант 3

Задание 1. Найти произведение заданных матриц А и В.

[pic 1][pic 2].

Решение

Так как количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В, то произведение А на В существует. Тогда

[pic 3]

[pic 4].

Искомая матрица имеет размерность 3х2.

Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.

[pic 5]

Решение методом Крамера.

Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.

Главный определитель:

∆ = 2 • (1 • 3-(-5) • 2)-4 • (4 • 3-(-5) • (-1))+(-2) • (4 • 2-1 • (-1)) = -20

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 =

= (-8) • (1 • 3-(-5) • 2)-14 • (4 • 3-(-5) • (-1))+18 • (4 • 2-1 • (-1)) = -40

[pic 6]

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 =

= 2 • (14 • 3-18 • 2)-4 • ((-8) • 3-18 • (-1))+(-2) • ((-8) • 2-14 • (-1)) = 40

[pic 7]

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 =

= 2 • (1 • 18-(-5) • 14)-4 • (4 • 18-(-5) • (-8))+(-2) • (4 • 14-1 • (-8)) = -80

[pic 8]

Проверка.

2•2+4•(-2)-1•4 = -8

4•2+1•(-2)+2•4 = 14

-2•2-5•(-2)+3•4 = 18

...