Контрольная работа по "Линейной алгебре"
Автор: yarik_804 • Ноябрь 26, 2018 • Контрольная работа • 2,046 Слов (9 Страниц) • 446 Просмотры
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Вариант 7
Задание 1.
Решить матричное уравнение , если:[pic 1]
, [pic 2][pic 3]
Решение:
Решением данного уравнения будет: [pic 4]
- Найдём обратную матрицу .[pic 5]
а) Определитель : [pic 6]
[pic 7]
[pic 8]
Следовательно, матрица B невырожденная и существует .[pic 9]
б) Транспонируем матрицу B:
[pic 10]
в) Составляем союзную матрицу , состоящую из алгебраических определений транспонированной матрицы :[pic 11][pic 12]
[pic 13]
г) Составляем обратную матрицу :[pic 14]
[pic 15]
- Находим решение уравнения :[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
Задание 2.
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
[pic 21]
Решение:
А = [pic 22]
В = [pic 23]
Х = [pic 24]
Данную систему можно заменить матричным уравнением А∙Х=В. Решением данного уравнения будет Х = А-1 ∙ В = ∙ =[pic 25][pic 26]
= ∙ ∙, △А ≠ 0.[pic 27][pic 28][pic 29]
1. Найдем определитель △А:
△А = 1 • (6 • 2 − (−2) • 2) + 3 • (2 • 2 − (−2) • 1) + 2 • (2 • 2 – 6 • 1) = 30 ≠ 0.
Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А. Транспонируем матрицу А:
АТ = [pic 30]
Вычисляем алгебраические дополнения:
A11= (−1)1+1 |
= 6 • 2 – 2 • (−2) = 16[pic 31]
A12= (−1)1+2 |
= − (2 • 2 – 1 • (−2)) = −6[pic 32]
A13= (−1)1+3 |
= 2 • 2 – 1 • 6 = −2[pic 33]
A21= (−1)2+1 |
= − ((−3) • 2 – 2 • 2) = 10[pic 34]
A22= (−1)2+2 |
= 1 • 2 – 1 • 2 = 0[pic 35]
A23= (−1)2+3 |
= − (1 • 2 – 1 • (−3)) = −5[pic 36]
A31= (−1)3+1 |
= (−3) • (−2) – 6 • 2 = −6[pic 37]
A32= (−1)3+2 |
= − (1 • (−2) – 2 • 2) = 6[pic 38]
A33= (−1)3+3 |
= 1 • 6 – 2 • (−3) = 12[pic 39]
Х = ∙ ∙ = [pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]
Ответ: x1 = 4, x2 = 2, x3 = 0.
Задание 3.
Даны две системы векторов
, , [pic 44][pic 45][pic 46]
, , [pic 47][pic 48][pic 49]
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует базис. Найти координаты вектора в этом базисе используя формулы Крамера.[pic 50]
Решение:
- Рассмотрим первую систему векторов: , , . Запишем координаты векторов в матрицу:[pic 51][pic 52][pic 53]
[pic 54]
Найдём ранг данной матрицы (ранг данной матрицы будет равен рангу данной системы векторов). Рангом матрицы называется наибольший порядок порождённых ею определителей. Найдём сначала определитель матрицы A (разложим по элементам первой строки):
[pic 55]
Возьмём любой определитель 2-го порядка, порождённый матрицей А:
...