Контрольная работа по "Линейной алгебре"

Вариант 8

[pic 1]

1.Даны матрицы: [pic 2] и [pic 3].

Найти матрицу [pic 4] и определить ее ранг.

[pic 5][pic 6][pic 7]

Приведение матрицы к трапециевидной:

[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]   число ненулевых строк 2, ранг матрицы r = 2.

2.Методом обратной матрицы решить систему уравнений: [pic 13]       

Матричное уравнение, соответствующее системе: [pic 14], где [pic 15]     [pic 16]     [pic 17]

Решение матричного уравнения: [pic 18]     [pic 19]      [pic 20]

Определитель матрицы А: [pic 21]

Алгебраические дополнения:

[pic 22]                   [pic 23]                     [pic 24]

[pic 25]                [pic 26]                 [pic 27]

[pic 28]                  [pic 29]                   [pic 30]

Транспонированная матрица алгебраических дополнений: [pic 31]   

Обратная матрица:  [pic 32] 

[pic 33][pic 34]

Решение системы: [pic 35]

Проверка: [pic 36]  верно

3. Методом Гаусса решить систему уравнений: [pic 37] 

Расширенная матрица системы:    [pic 38][pic 39][pic 40]

Ранг матрицы 2, ранг расширенной матрицы 2, число неизвестных 4, число свободных неизвестных 4-2=2, решений бесконечное множество.

Свободные неизвестные:[pic 41]    [pic 42]

[pic 43]   Общее решение системы: [pic 44]

Проверка: [pic 45]верно     Базисное решение: [pic 46]

 4. Проверить, что векторы [pic 47], [pic 48] и [pic 49] образуют базис в пространстве R3.

Смешанное произведение векторов - определитель квадратной матрицы, составленной из  координат данных векторов:

[pic 50]      [pic 51]   

Т.к. определитель не равен нулю, то векторы линейно не зависимы (некомпланарны) и, следовательно, образуют базис в пространстве [pic 52].