Линейная алгебра
Автор: Ekaterina Bakun • Февраль 5, 2018 • Контрольная работа • 1,330 Слов (6 Страниц) • 598 Просмотры
Контрольная работа
Раздел №1. Линейная алгебра
Задача 1 (Вариант 16)
Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.
[pic 1]
Решение:
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
[pic 2]
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.
[pic 3]
Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.
[pic 4]
После преобразований, получаем:
[pic 5]
Подставляя в систему, имеем:[pic 6]
[pic 7]
Или
[pic 8]
Решаем эту систему линейных однородных уравнений.
Выпишем основную матрицу системы:
[pic 9]
[pic 10]
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (-0.36). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
[pic 11]
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
[pic 12]
Умножим 1-ую строку на (0.56). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
[pic 13]
В матрице 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
[pic 14]
Найдем ранг матрицы.
[pic 15]
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно, rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных , значит, неизвестные – зависимые (базисные), а – свободные.[pic 16][pic 17][pic 18]
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
[pic 19]
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
[pic 20]
[pic 21]
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные , то есть нашли общее решение:[pic 22][pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , имеет вид:[pic 26]
[pic 27]
где - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив :[pic 28][pic 29]
[pic 30]
Задача 2 (Вариант 19)
Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.
[pic 31]
Решение:
1. Метод Крамера:
Запишем систему в виде:
А = | 1 | 1 | 2 | 2 |
2 | -1 | 2 | -1 | |
4 | 1 | 6 | 5 | |
0 | 0 | 0 | 0 |
BT = (-1,-4,-6,0)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Найдем определитель:
Минор для (1,1):
[pic 32]
Найдем определитель для этого минора.
[pic 33]
Минор для (2,1):
[pic 34]
Найдем определитель для этого минора.
[pic 35]
Минор для (3,1):
[pic 36]
Найдем определитель для этого минора.
[pic 37]
Минор для (4,1):
[pic 38]
Найдем определитель для этого минора.
[pic 39]
Определитель:
[pic 40]
Определитель равен 0. Система имеет бесконечное множество решений.
2. Метод Гаусса
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
1 | 1 | 2 | 2 | -1 |
2 | -1 | 2 | -1 | -4 |
4 | 1 | 6 | 5 | -6 |
Умножим 1-ю строку на (2). Умножим 2-ю строку на (-1). Добавим 2-ю строку к 1-й:
0 | 3 | 2 | 5 | 2 |
2 | -1 | 2 | -1 | -4 |
4 | 1 | 6 | 5 | -6 |
Умножим 2-ю строку на (2). Умножим 3-ю строку на (-1). Добавим 3-ю строку к 2-й:
0 | 3 | 2 | 5 | 2 |
0 | -3 | -2 | -7 | -2 |
4 | 1 | 6 | 5 | -6 |
Добавим 2-ю строку к 1-й:
...