Численное решение системы ОДУ
Автор: flex • Апрель 22, 2018 • Курсовая работа • 2,491 Слов (10 Страниц) • 554 Просмотры
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«Южно-Уральский государственный университет»
(национальный исследовательский университет)
Институт естественных и точных наук
Факультет математики, механики и компьютерных технологий
Кафедра прикладной математики и программирования
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
К КУРСОВОЙ РАБОТЕ
Тема: Численное решение системы ОДУ.
по дисциплине «Численные методы»
ЮУрГУ–21.14.02.2017.6.ПЗ КР
Руководитель работы, __________/ А.Е. Карташев «____»_____________2017 г. | |
Автор работы Студент группы ЕТ-314 _____________/ А.А. Беседин «____»_____________2017 г. | |
Нормоконтролер, _____________/___________ «____»_____________2017 г. |
Челябинск 2017
АННОТАЦИЯ
А.А. Беседин. «Численное решение системы ОДУ». – Челябинск: ЮУрГУ, 2017 – 27с. Илл. – 13. Библ. – 3 наимен. Прилож – 2.
Данная работа – пояснительная записка к численному решению задачи Коши на языке программирования MATLAB. В ней содержится постановка задачи, вывод формул, результаты расчетов, а также вывод, подводящий итог всей работе. В приложении 1 содержится полный текст программы. В приложении 2 содержатся графики.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
1. Постановка задачи 5
2. Вывод формул 6
2.1 Метод Эйлера 6
2.2. Модифицированный метод Эйлера с пересчетом 7
2.3. Метод Рунге-Кутты 8
2.4. Метод Рунге-Кутты-Мерсона 10
2.5. Метод Адамса 11
3. Результаты расчетов 12
4. Вывод 14
Литература 15
Приложение 1. 16
Приложение 2. 21
Введение
Целью данной курсовой работы является численное решение системы однородных дифференциальных уравнений (ОДУ) методами Эйлера, Рунге-Кутты, Рунге-Кутты-Мерсона, Адамса на заданном отрезке интегрирования. Значения функций в начальной точке известны. Заданная система ОДУ также была решена аналитически что позволит точно оценивать ошибки вычислений заданных методов.
1. Постановка задачи
Задана задача Коши:
[pic 1]
Ее аналитическое решение имеет вид:
[pic 2]
Данную задачу необходимо численно решить методами Эйлера, Эйлера с пересчетом, Рунге-Кутты, Рунге-Кутты-Мерсона, Адамса. Также необходимо сравнить точность данных методов при различных шагах разбиения. Составить графики функций полученных численно и аналитически для всех методов для наглядности. Составить график зависимости максимальной ошибки от шага разбиения для всех методов. Для решения необходимо использовать пакет MATLAB.
2. Вывод формул
2.1 Метод Эйлера
Для простоты сначала рассмотрим задачу Коши для одного уравнения, а затем обобщим результат на случай n уравнений. Пусть задана задача Коши: . В окрестности точки функцию разложим в ряд Тейлора который можно применить для приближенного определения искомой функции. В точке при малых значениях можно ограничиться двумя членами ряда, тогда где – бесконечно малая величина порядка . Заменим производную на правую часть заданного уравнения и получим . Данное приближенное решение можно рассматривать как начальное и по заданной формуле найти значение в следующей точке. На каждом шаге метода Эйлера решение определяется с погрешностью за счет отбрасывания членов ряда Тейлора, пропорциональных в степени выше первой. Следовательно, данный метод имеет второй порядок локальной погрешности и первый порядок для глобальной погрешности. Формула Эйлера обобщается для систем ОДУ, Записанных в форме Коши с начальными условиями .[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]
...