Численное решение задачи Коши

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Волгоградский государственный технический университет»

(ВолгГТУ)

Кафедра «Высшая математика»

Лабораторная работа №5

 «Численное решение задачи Коши»

Выполнила:

Студентка группы

ИВТ-261

Колесникова В.О.

Проверил:

Доцент кафедры «Высшая математика»

Кобышев В.А.

Метод Эйлера (Рунге-Кутта 1-го порядка):

Теория:

Рассмотрим дифференциальное уравнение

[pic 1]          (1)

с начальным условием

[pic 2]

Подставив [pic 3]в уравнение (1), получим значение производной в точке [pic 4]:

[pic 5]

При малом [pic 6] имеет место:

[pic 7]

Обозначив [pic 8] , перепишем последнее равенство в виде:

[pic 9]         (2)

Принимая теперь [pic 10]за новую исходную точку, точно также получим:

[pic 11]

В общем случае будем иметь:

[pic 12]      (3)

Это и есть метод Эйлера. Величина [pic 13] называется шагом интегрирования. Пользуясь этим методом, мы получаем приближенные значения у, так как производная [pic 14] на самом деле не остается постоянной на промежутке длиной [pic 15]. Поэтому мы получаем ошибку в определении значения функции у, тем большую, чем больше [pic 16]. Метод Эйлера является простейшим методом численного интегрирования дифференциальных уравнений и систем. Его недостатки – малая точность и систематическое накопление ошибок.

Более точным является модифицированный метод Эйлера с пересчетом. Его суть в том, что сначала по формуле (3) находят так называемое «грубое приближение» (прогноз):

[pic 17]

а затем пересчетом [pic 18]получают тоже приближенное, но более точное значение (коррекция):

[pic 19]          (4)

Фактически пересчет позволяет учесть, хоть и приблизительно, изменение производной [pic 20]на шаге интегрирования [pic 21], так как учитываются ее значения [pic 22] в начале и [pic 23] в конце шага , а затем берется их среднее. Метод Эйлера с пересчетом (4) является по существу методом Рунге-Кутта 2-го порядка [2], что станет очевидным из дальнейшего.

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

Теория:

Метод Рунге — Кутты четвёртого порядка при вычислениях с постоянным шагом интегрирования столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге — Кутты.

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. (Далее, а ).[pic 24][pic 25]

.[pic 26]

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

.[pic 27]

Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

,[pic 28]

,[pic 29]

,[pic 30]

.[pic 31]

где h – величина шага сетки по x.

Этот метод имеет четвёртый порядок точности. Это значит, что ошибка на одном шаге имеет порядок , а суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок .[pic 32][pic 33]

Пример №1.

Найти приближенное решение задачи Коши  Методами Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка на заданном отрезке с шагом h=0,1 (или h=0,01).[pic 34]

, y(0)=0; [pic 35][pic 36]

Метод Эйлера.

Код программы:

program rungekuttl;

uses crt;

const

NMax=1;

Space='                ';