Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Лабораторная работа

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть требуется найти решение задачи Коши:

[pic 1],     a ≤ x ≤ b,     [pic 2].                            (1)

На отрезке [a,b] зададим конечное множество точек [pic 3] [pic 4]. Будем искать приближенное решение задачи (1) в выбранных точках xi.

Метод Эйлера

В методе Эйлера приближенные значения искомой функции yi ≈ y(xi) вычисляются последовательно по формуле:

[pic 5],  [pic 6][pic 7],

где hi = xi+1 – xi.

Остаточный член на каждом шаге в методе Эйлера -О(h2), а суммарный остаток- О(h).

Исправленный метод Эйлера (метод трапеций)

[pic 8].

Остаточный член на каждом шаге в исправленном методе Эйлера -О(h3), а суммарный остаток- О(h2).

Модифицированный метод Эйлера

[pic 9]

Остаточный член на каждом шаге в модифицированном методе Эйлера -О(h3), а суммарный остаток- О(h2).

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка состоит в следующей последовательности вычислений:

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]  [pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Включение цепи с резистором и конденсатором на синусоидальное напряжение

[pic 17]
Рисунок 1

Напряжение источника изменяется по закону

u = Um sin(ωt + ψ).

Дифференциальное уравнение на основе 2-го закона Кирхгофа

[pic 18]

Напряжение на конденсаторе (точное решение)

где: - полное сопротивление цепи;
XC = 1 / (ωC) – емкостное сопротивление;
φ = -arctg(XC / R) – угол сдвига фаз между установившимся током в цепи и приложенным синусоидальным напряжением; τ = RC.

Ток в цепи

.

Решение поставленной задачи в среде MathCad

  РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО

ПОРЯДКА y'=f(x,y) МЕТОДАМИ ЭЙЛЕРА

[pic 19]   Схема цепи

[pic 20]       [pic 21]         [pic 22]          [pic 23]     [pic 24]            [pic 25]

[pic 26]           Напряжение источника

[pic 27]            [pic 28]            [pic 29]

[pic 30]

Точное решение  для напряжения

[pic 31]

Точное решение   для тока

[pic 32]

[pic 33]             Левая часть дифференциального уравнения

[pic 34]              Число точек  решения N

[pic 35]              Отрезок интегрирования

[pic 36]                Шаг интегрирования h             [pic 37]

[pic 38]         [pic 39]          [pic 40]         [pic 41]               Начальное условие