Численное решение стационарного уравнения Шредингера: метод пристрелки
Автор: Александра Дроботенко • Апрель 8, 2022 • Лабораторная работа • 3,219 Слов (13 Страниц) • 375 Просмотры
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВО «ВГУ»)
Факультет прикладной математики, информатики и механики
Кафедра
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО
УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА:
МЕТОД ПРИСТРЕЛКИ
Направление: 01.03.02 Прикладная математика и информатика
Выполнила:
Дроботенко А. Д.
Преподаватель:
Доктор физ.-мат. наук, профессор
Тимошенко Ю. К.
Воронеж 2022
Содержание
1. Цели и задачи работы 3
2. Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера. Математический формализм. Общие свойства решений 4
3. Метод пристрелки. Алгоритм 6
4. Программная реализация алгоритма 7
5. Результаты численных экспериментов и их анализ 9
Приложение 1. Компьютерный код 11
Список литературы 15
Цели и задачи работы
Цели работы. Целями данной лабораторной работы являются практическое освоение информации, полученной при изучении курса «Компьютерное моделирование в математической физике» по теме «Численное решение стационарного уравнения Шрёдингера», приобретение опыта использования знаний и навыков по математике, численным методам и программированию для решения прикладных задач физико–технического характера.
Задачи работы. Проблема: электрон находится потенциальной функции вида , где:[pic 1]
(1)[pic 2]
, n = 1, – конфлюэнтная гипергеометрическая функция.[pic 3][pic 4]
1) Используя метод пристрелки, найти энергии, нормированные волновые функции и плотности вероятности для основного и 3-го возбужденного состояний. Привести как численные значения энергий, так и построить графики волновых функций и плотностей вероятности.
2) Вычислить для этих состояний квантовомеханические средние:.[pic 5]
Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера. Математический формализм. Общие свойства решений
Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера, описывающее поведение частицы с массой m в потенциале U(x).
. (2)[pic 6]
Требуется отыскать собственные значения E, которые имеют смысл энергии частицы и соответствующие им собственные функции ψ(x), называемые в квантовой теории волновыми функциями. Оператор Гамильтона имеет вид:
, (3)[pic 7]
оператор кинетической энергии:
. (4)[pic 8]
Подставив в (2), и проведя математические операции, получим
. (5)[pic 9]
Преобразуем (5) к форме:
, (6)[pic 10]
. (7)[pic 11]
Собственные значения оператора Гамильтона имеют смысл энергии соответствующей изолированной квантовой системы.
Если за пределами интервала потенциал равен бесконечности, то плотность вероятности и, соответственно, вероятность обнаружения частицы в этой области равна 0. Следовательно, краевые условия на границах интервала ψ(a) = ψ(b) =0.
Пусть минимальное значение потенциальной энергии .Тогда . Из (2) следует[pic 12][pic 13]
(8)[pic 14]
Т.е. энергии всех состояний .[pic 15]
Свойства решений уравнения Шредингера зависит от знака собственного значения энергии . Существуют 2 случая движения частицы: финитное и инфинитное.[pic 16]
...