Практическая работа по "Математике"

Содержание

Задания        2

Задание 1.14        3

Задания

Задание 1.14.  Найти особые точки следующей системы. Определить ее тип. Построить схематически фазовый портрет в окрестности каждой особой точки.

[pic 1]

Задание 1.14

Найти особые точки следующей системы. Определить ее тип. Построить схематически фазовый портрет в окрестности каждой особой точки.

[pic 2]

Решение

Для нахождения особых точек решим следующую систему уравнений:

[pic 3]

 =>=> ,[pic 4][pic 5][pic 6]

,                                                            [pic 7][pic 8]

                                             [pic 9][pic 10]

.                                                        [pic 11][pic 12]

                                    [pic 13][pic 14][pic 15]

                                                                       [pic 16][pic 17]

Итак, особыми точками будут М1(3,0), М2(-3,0), М3(13,4), M4(-13,4).

Составим матрицу Якоби для нашей системы:

       .[pic 18][pic 19]

Для точки М1(3,0) имеем J(3,0)== А1. Для точки М2(-3,0) имеем J(-3,0) == А2. Для точки М3(13,4) имеем J(13,4)== А3.
Для точки М.(-13,4) имеем J(-13,4)== А4.[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

1. Найдем собственные значения матрицы А1:

1==.[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

λ1[pic 28]

λ2.[pic 29]

В рассматриваемом случае собственные значения – вещественные и имеют разные знаки  λ1 λ2, поэтому точка М1(3,0) является точкой типа «седло».[pic 30]

Теорема 1.  Предположим, что точка системы является седлом. Пусть Р прямая, проходящая через точку в направлении собственного вектора 1, соответствующего отрицательному собственному значению λ1 , а Q – прямая, проходящая через точку в направлении собственного вектора матрицы 2, соответствующего положительному собственному значению λ2, Тогда существуют ровно две траектории U1 и U2 системы, которые при t+∞ асимптотически приближаются к точке. Эти две траектории вместе с точкой О образуют непрерывно дифференцируемую кривую, касающуюся прямой Р в точке . Точно также существуют ровно две траектории V1 и V2, которые при t∞ асимптотически приближаются к точке , касаясь при этом прямой Q. Траектории U1 и U2 – устойчивые усы седла, траектории V1 и V2 – неустойчивые усы седла.[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]