Индивидуальная практическая работа по «Математика»

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОННИКИ

Факультет инновационного непрерывного образования

Специальность: Программируемые мобильные системы

Индивидуальная практическая работа №2

по дисциплине «Математика. 3-я часть»

Кафедра высшей математики

Выполнил: студент Барковский Н.Н.

(по сертификату)

Минск 2018

Вариант 15

Задача 1. Постройте на комплексной плоскости область [pic 1], заданную системой неравенств. Проверьте, принадлежит ли заданная точка [pic 2] области [pic 3].

[pic 4]

Решение.

Неравенство [pic 5] соответствует внешней части круга радиусом [pic 6] с центром в точке [pic 7], включая ограничивающую его окружность.

Неравенство [pic 8] соответствует внутренней части круга радиусом [pic 9] с центром в точке [pic 10], включая ограничивающую его окружность.

Неравенство [pic 11] соответствует сектору окружности. На рисунке представлена область [pic 12].

[pic 13]

Точка [pic 14] не принадлежит области [pic 15]. Проверим это аналитически:

[pic 16] - неравенство выполнено.

[pic 17]- неравенство не выполнено.

[pic 18] - неравенство не выполнено.

Значит, точка [pic 19] не принадлежит области [pic 20].

Задача 2. Определите область (круг) сходимости данного комплексного ряда. Исследуйте его сходимость (сходится абсолютно, сходится условно, расходится) в точках [pic 21], [pic 22], [pic 23].

[pic 24];     [pic 25],       [pic 26],         [pic 27].

Решение.

Применим признак Даламбера:

[pic 28], [pic 29].

[pic 30]

Отсюда, следовательно, ряд сходится при условии [pic 31] или внутри круга [pic 32] радиусом [pic 33] с центром в точке [pic 34].

На рисунке изображены точки, которые необходимо исследовать и область сходимости.

[pic 35]

Точка [pic 36] расположена на границе круга сходимости, т.к. [pic 37]. Для исследования сходимости заданного ряда в этой точке подставим её в ряд:

[pic 38].

[pic 39].

Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно в точке [pic 40] при [pic 41].

Точка [pic 42] расположена внутри круга сходимости, т.к. [pic 43], поэтому ряд в ней сходится абсолютно.

Точка [pic 44]расположена вне круга сходимости, т.к. [pic 45], поэтому ряд в ней расходится.

Задача 3. Проверьте, является и функция [pic 46] аналитической в области [pic 47]. Вычислите интеграл от этой функции по указанной кривой [pic 48].

[pic 49];

[pic 50];

[pic 51] – ломаная [pic 52]: [pic 53], [pic 54], [pic 55].

Решение.

Для проверки того, является ли функция аналитической, воспользуемся условиями Коши-Римана. Для этого с помощью формулы [pic 56] представим заданную функцию в виде [pic 57]. С учетом [pic 58] имеем

[pic 59] откуда получаем

[pic 60], [pic 61].

Найдем частные производные

[pic 62],

[pic 63],

[pic 64],

[pic 65].

Теперь проверим выполнение условия Коши-Римана:

[pic 66],

[pic 67].

Так как условия Коши-Римана выполняются для любых [pic 68] и [pic 69], то функция [pic 70] является аналитической на всей комплексной плоскости, включая и область [pic 71].

Теперь вычислим интеграл от заданной функции.

[pic 72]

[pic 73] – ломаная [pic 74]: [pic 75], [pic 76], [pic 77].

Заданная кривая [pic 78] представляет собой ломаную [pic 79]: [pic 80], [pic 81], [pic 82].

В данном случае воспользуемся формулой