Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та ті, що зводяться до них

8.3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та ті, що зводяться до них

        Лінійним називається диференціальне рівняння, лінійне відносно шуканої функції та її похідної. Загальний вигляд лінійного рівняння є такий:

[pic 1][pic 2].                                        (8.22)

Якщо [pic 3], то рівняння називається лінійним однорідним  рівнянням, якщо в іншому разі - лінійним неоднорідним рівнянням. Найбільш поширеним методом розв’язання лінійних рівнянь є метод варіації довільної сталої.

Метод варіації довільної сталої

        Для рівняння (8.22) розглянемо відповідне йому однорідне рівняння [pic 4]

[pic 5].                                        (8.23)

У цьому рівнянні змінні відокремлюються. Запишемо

[pic 6] [pic 7] [pic 8].

Отже, загальний розв'язок однорідного рівняння (8.24) можна знайти в квадратурах

[pic 9],                                        (8.24)

де [pic 10] – довільна стала.

        Тепер загальний розв'язок рівняння (8.22) шукаємо у вигляді (8.25). Але для того щоб функція (8.24) могла задовольнити рівняння (8.22), константа [pic 11] має бути уже не сталою величиною, а деякою функцією від [pic 12], яку потрібно відшукати. Отже, шукаємо загальний розв'язок рівняння (8.22) у вигляді

[pic 13].                                (8.25)

Невідому [pic 14] знайдемо з таких міркувань. Якщо (8.26) є розв'язок рівняння (8.23), то, підставивши його в це рівняння, маємо одержати тотожність. А тому знайдемо похідну

[pic 15]                (8.26)

і разом з (8.26) підставимо у вихідне рівняння. Одержуємо:

[pic 16],

або   [pic 17]. Отже,  [pic 18],

а тому

[pic 19].

Тут [pic 20] - довільна стала. Таким чином, функція [pic 21] знайдена. Тоді загальний розв'язок рівняння (8.23) запишеться так:

[pic 22].                (8.27)

Приклад 8.9. Розв’язати диференціальне рівняння

[pic 23]

Розглянемо відповідне однорідне рівняння

[pic 24] або [pic 25]

Його розв’язок

[pic 26] або [pic 27]

Розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді [pic 28]

Підставляючи його у неоднорідне рівняння, маємо

[pic 29] або [pic 30], [pic 31].

Звідси [pic 32]

Відповідь: [pic 33]

Рівняння  Бернуллі

        Рівняння  Бернуллі — це рівняння виду

                                        [pic 34]                                (8.33)

Зведемо це рівняння до лінійного. Для цього поділимо (8.33) на [pic 35]. Матимемо

                                     [pic 36]                                (8.34)

Зробимо заміну

[pic 37]

І підставимо цю заміну у (8.34)

                                   [pic 38]                                (8.35)

Рівняння (8.35)  — лінійне рівняння і розв’язуємо його одним із вказаних раніше методів.

8.4. Рівняння в повних диференціалах.

        Рівняння виду

[pic 39]                                (8.36)

у якому ліва частина є повним диференціалом деякої функції [pic 40]на деякій множині точок площини, називається рівнянням у повних диференціалах.

        Якщо диференціальне рівняння (8.36) є рівнянням у повних диференціалах, то його можна записати так

[pic 41],

де [pic 42] — така функція, що [pic 43]. Тоді загальний розв’язок рівняння (8.36) у неявному вигляді визначатиметься рівнянням

[pic 44],

де С — довільна стала. Отже, процес розв’язування диференціального рівняння (8.36) до знаходження функції [pic 45], диференціал від якої дорівнює [pic 46].

        Щоб вираз [pic 47] був повним диференціалом деякої функції [pic 48], необхідно і достатньо, щоб змішані похідні цієї функції були рівні,тобто, щоб виконувалась умова