Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

1. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

Означення. Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами називається рівняння виду:

[pic 1]   (1)

Воно відрізняється від відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння [pic 2] (2) тим, що в правій частині записана функція [pic 3].

Для знаходження загального розв’язку рівняння (1) спочатку знаходять загальний розв’язок [pic 4] рівняння (2), а потім знаходять будь-який частинний розв’язок [pic 5] рівняння (1). Їх сума - є загальний розв’язок даного неоднорідного рівняння (1),

[pic 6].

Правило знаходження частинного розв’язку [pic 7]

Приклад 1. [pic 27]                [pic 28]

[pic 29]      [pic 30]

Значення [pic 31] підставляємо в ліву частину заданого рівняння

[pic 32]

Відповідь. [pic 33]

Приклад 2. [pic 34]              [pic 35]

[pic 36]        [pic 37]