Диференціальні рівняння першого порядку

Лекція 1-2. Диференціальні рівняння першого порядку

1. Загальні поняття
2. Диференціальні рівняння першого порядку
3. Рівняння з відокремлюваними змінними
4. Диференціальні рівняння з однорідною правою частиною
5. Рівняння, звідні до однорідних
6. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
7. Рівняння Бернуллі
8. Рівняння в повних диференціалах

1. Загальні поняття

Означення. Диференціальним рівнянням називається співвідношення, що

пов’язує незалежну змінну  x , шукану функцію

y(x)

і її похідні

y′(x), y′′(x),

…, y(n) (x) . Символічно диференціальне рівняння записується у вигляді:

F (x, y, y′, y′′,…, y(n) ) = 0 .        (1) Наприклад, диференціальними рівняннями є такі:

1) y′

+ y IV

x + ( y

′′′)2

= 15x;

d 2 y

2)[pic 1]

dx2

+ 2x + y = 0;

3) y

2dx + (1 + x2

)dy = 0.

Означення. Якщо в диференціальному рівнянні невідома функція є функцією однієї незалежної змінної, то таке диференціальне рівняння називається звичай- ним. Наприклад, рівняння 1), 2) і 3) є звичайними диференціальними рівняннями,

Означення. Найвищий порядок похідної, що входить у співвідношення (1) називається порядком диференціального рівняння. Наприклад, рівняння 1) є рівняння четвертого порядку, 2) – рівняння другого порядку, 3) – рівняння першо-

го порядку. Рівняння (1) – звичайне диференціальне рівняння

n − го порядку.

Означення. Розв’язком диференціального рівняння (1) називається n разів

диференційовна функція

y = ϕ(x)

в інтервалі

(a; b) , яка разом із своїми похідними

задовольняє рівняння (1), тобто перетворює його в тотожність

F (x, ϕ(x), …, ϕ (k ) (x),…,ϕ (n) (x)) ≡ 0 .

Наприклад, функція

ϕ(x) = e3x

є розв’язком диференціального рівняння

y′′ − 2 y′ − 3y = 0, оскільки для всіх

x ∈ (−∞; + ∞)

перетворює це рівняння в то-

тожність.        Справді,        підставивши        функцію

ϕ ′′(x) = 9e3x в рівняння, дістанемо тотожність

ϕ(x)

і        її        похідні

ϕ ′(x) = 3e3x ,

правильну для

ϕ ′′ − 2ϕ ′ − 3ϕ = 9e3x

− ∞ < x < +∞.

− 6e3x

− 3e3x

≡ 0 ,

Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння (1) називається