Диференціальні рівняння першого порядку
Автор: loddfq • Май 20, 2024 • Лекция • 6,777 Слов (28 Страниц) • 53 Просмотры
Лекція 1-2. Диференціальні рівняння першого порядку
- Загальні поняття
- Диференціальні рівняння першого порядку
- Рівняння з відокремлюваними змінними
- Диференціальні рівняння з однорідною правою частиною
- Рівняння, звідні до однорідних
- Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
- Рівняння Бернуллі
- Рівняння в повних диференціалах
Загальні поняття
Означення. Диференціальним рівнянням називається співвідношення, що
пов’язує незалежну змінну x , шукану функцію
y(x)
і її похідні
y′(x), y′′(x),
…, y(n) (x) . Символічно диференціальне рівняння записується у вигляді:
F (x, y, y′, y′′,…, y(n) ) = 0 . (1) Наприклад, диференціальними рівняннями є такі:
1) y′
+ y IV
x + ( y
′′′)2
= 15x;
d 2 y
2)[pic 1]
dx2
+ 2x + y = 0;
3) y
2dx + (1 + x2
)dy = 0.
Означення. Якщо в диференціальному рівнянні невідома функція є функцією однієї незалежної змінної, то таке диференціальне рівняння називається звичай- ним. Наприклад, рівняння 1), 2) і 3) є звичайними диференціальними рівняннями,
Означення. Найвищий порядок похідної, що входить у співвідношення (1) називається порядком диференціального рівняння. Наприклад, рівняння 1) є рівняння четвертого порядку, 2) – рівняння другого порядку, 3) – рівняння першо-
го порядку. Рівняння (1) – звичайне диференціальне рівняння
n − го порядку.
Означення. Розв’язком диференціального рівняння (1) називається n разів
диференційовна функція
y = ϕ(x)
в інтервалі
(a; b) , яка разом із своїми похідними
задовольняє рівняння (1), тобто перетворює його в тотожність
F (x, ϕ(x), …, ϕ (k ) (x),…,ϕ (n) (x)) ≡ 0 .
Наприклад, функція
ϕ(x) = e3x
є розв’язком диференціального рівняння
y′′ − 2 y′ − 3y = 0, оскільки для всіх
x ∈ (−∞; + ∞)
перетворює це рівняння в то-
тожність. Справді, підставивши функцію
ϕ ′′(x) = 9e3x в рівняння, дістанемо тотожність
ϕ(x)
і її похідні
ϕ ′(x) = 3e3x ,
правильну для
ϕ ′′ − 2ϕ ′ − 3ϕ = 9e3x
− ∞ < x < +∞.
− 6e3x
− 3e3x
≡ 0 ,
Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння (1) називається
...