Лекции по "Математическому анализу"

1. Сандық тізбек. Сандық тізбектің шегі

Ан: Сандық тізбек деп-натурал сандар жиынында анықталған ф-сын айтамыз. Оны{ [pic 1]-деп белгілейміз.

Тізгектің берілу жолдары:

1. Формула арқылы:

[pic 2]=[pic 3] n=1.2…

[pic 4] n=1.2…

2. Рекурентті формула арқылы:

Ан: [pic 5], [pic 6] жоғарыдан шектелген д.а.

Ан: [pic 7], [pic 8] төменнен шектелген д.а

Ан: Егер тізбек төменнен де жоғ-дан да шектелсе, оны шектелген тізбек д.а.

Ан: (“[pic 9]” тілінде) Егер [pic 10] санына сәйкес [pic 11] үшін [pic 12]<[pic 13] болса, онда а саны{ [pic 14] тізбегінің шегі д.а. [pic 15]=a, [pic 16]a

Ан: Маңай([pic 17]) тілінде. Егер а нүк-нің [pic 18]маңайына сәйкес [pic 19] номері табылып, барлық [pic 20] үшін { [pic 21] тізбегінің мүшелері [pic 22] маңайында жатса, онда а санын [pic 23] сандық тізбегінің шегі д.а Немесе: [pic 24]=a:[pic 25] [pic 26]. Осы екі анықтама эквивалентті.

                    Сандық тізбектің шегі

Көрсетілген мысалдағы [pic 27] тізбегінің мүшелері 1 санына шексіз жақындайтынын байқауға болады.

Егер [pic 28] саны үшін натурал [pic 29] саны табылып, барлық [pic 30] болғанда

теңсіздігі орындалса, [pic 32] саны [pic 33] тізбегінің шегі деп аталады. Бұл жағдайда [pic 34] немесе [pic 35] деп жазып, [pic 36] тізбегінің [pic 37] санына тең шегі бар деп айтады.

Сонымен қатар,  [pic 38] тізбегі [pic 39]-ға жинақталады деп те атайды. Шек анықтамасын қысқаша былай жазуға болады:

2. Сандық тізбек. Шенелген, монотонды тізбектер.

                     Сандық тізбектер

[pic 41] сандық тізбегі деп  N натурал сандар жиынында анықталған

(1.3) функциясы түсіндіріледі.

Тізбек қысқаша [pic 43] түрінде немесе [pic 44], [pic 45] түрінде белгіленеді.  [pic 46] саны тізбектің 1-мүшесі, [pic 47]саны тізбектің 2-мүшесі, ..., [pic 48]тізбектің жалпы мүшесі немесе [pic 49]мүшесі деп аталады.

Кез-келген [pic 50] үшін [pic 51] теңсіздігі орындалатындай [pic 52] саны табылса, [pic 53] тізбегі шенелген деп аталады

Кері жағдайда, тізбек шенелмеген деп аталады. Жоғарыда көрсетілген [pic 55] және [pic 56] тізбектері шенелген, ал [pic 57] және [pic 58] тізбектері шенелмеген тізбектер.

Егер кез-келген [pic 59] үшін [pic 60] ([pic 61]) теңсіздігі орындалса, [pic 62] тізбегі өспелі (кемімейтін) деп аталады. Дәл осылай кемімелі (өспейтін) тзбек анықталады.

Осындай барлық тізбектер монотонды деп аталады. Мысалдағы [pic 63]монотонды тізбектер, ал [pic 64]- монотонды емес.

Монотонды тізбектер

Анықтама. Егер әрбір n (n= 1, 2,...) үшін [pic 65]болса, онда {хn} тізбегін өспелі, ал егер [pic 66]болса, онда {хn} тізбегін кемімелі деп атайды.

Егер әрбір n (n=1, 2,...) үшін [pic 67]болса, онда {хn} тізбегін кемімейтін, ал егер [pic 68]болса, онда {хn} тізбегін өспейтін тізбек деп атайды.