Контрольная работа по "Теория вероятности"
Автор: Nikita Melgunov • Апрель 6, 2020 • Контрольная работа • 2,719 Слов (11 Страниц) • 307 Просмотры
Содержание
Введение 3
Марковские цепи с дискретным временем 4
Задание 1. Марковские цепи с дискретным временем 8
Марковские цепи с непрерывным временем 10
Задание 2. Марковские цепи с непрерывным временем 13
Система массового обслуживания с отказами 15
Задание 3. Система массового обслуживания с отказами 17
Системы массового обслуживания с очередями 21
Задание 4. Системы массового обслуживания с очередями 25
Заключение 31
Список использованных источников: 32
Введение
В данной работе, решив 4 задачи, мы должны изучить два вида марковских цепей: с дискретным временем и непрерывным временем, а также систему массового обслуживания с отказами и очередью. Во время изучения мы рассмотрим их свойства и характеристики.
Марковские цепи с дискретным временем
Пусть физическая система [pic 1] находится в одном из состояний [pic 2] и может переходить из одного состояния в другое случайным образом только в фиксированные изолированные моменты времени [pic 3] . И если на процесс наложено условие Маркова, то такой случайный процесс называется марковским случайным процессом с дискретным временем и конечным числом состояний (дискретными состояниями). Моменты времени еще называют шагами процесса, а сам марковский случайный процесс – марковской цепью.
Без ограничения общности рассмотрим случай трех состояний [pic 4].
Обозначим через [pic 5], [pic 6] вероятности переходов системы из состояния [pic 7] в состояние [pic 8] за один шаг. Такие вероятности образуют матрицу [pic 9] вероятностей переходов за один шаг
[pic 10].
Если вероятности [pic 11] не зависят от номера шага, на котором осуществляется переход [pic 12], то такие цепи называются однородными марковскими цепями. В дальнейшем будем рассматривать только однородные марковские цепи.
Элементы матрицы обладают следующими свойствами:
[pic 13], [pic 14]
[pic 15] [pic 16]
Однородную марковскую цепь удобно изображать в виде размеченного графа состояний (рис. 1).
[pic 17]
Рис. 1
Обозначим через матрицу-строку [pic 18] распределение вероятностей в системе после [pic 19] шагов, где [pic 20] – вероятность нахождения системы в состоянии [pic 21], [pic 22] Для элементов матрицы [pic 23] при любом [pic 24] выполняется равенство[pic 25] При [pic 26] имеем начальное распределение вероятностей [pic 27].
Для нахождения вероятностей состояний после [pic 28]-го шага справедливо следующее соотношение:
[pic 29].
Определение 1. Состояние [pic 30] называется существенным, если, выйдя из этого состояния, система может в него вернуться за один или несколько шагов.
Состояние [pic 31]называется несущественным, если, выйдя из [pic 32], система не может вернуться в него.
Так, марковская цепь, граф которой приведен на рис. 2, имеет одно несущественное состояние [pic 33].
[pic 34]
Рис. 2
Определение 2. Марковская цепь называется регулярной, если из любого существенного состояния можно попасть в любое другое существенное состояние за конечное число шагов.
...