Контрольная работа по "Теория вероятностей"

Задача 1.

Выбранными должны оказаться 5 самых высоких рабочих из имеющихся 12, то есть 5 заданных. Такой вариант всего один из [pic 1], то есть: [pic 2]

Задача 2.

Для решения задачи используем формулу классической вероятности [pic 3], где [pic 4]– количество всех возможных исходов, а [pic 5]– количество благоприятствующих исходов. [pic 6] – количество способов взять 9 любых вакантных мест. Найдем [pic 7]. Так как женщин 10, а нужно только 7, это можно сделать [pic 8]способами. Остается выбрать два оставшихся вакантных места, это можно сделать [pic 9]способами. Так как вакантные места должны занять как мужчины так и женщины, то количество комбинаций перемножается, тогда [pic 10]. Тогда искомая вероятность равна:

[pic 11]

Задача 3

РЕШЕНИЕ. Используем геометрическое определение вероятности. Так как числа x и y берутся из отрезка (0,1) (положительные и не больше 1), можно считать, что выбирается точка с координатами (x,y) из квадрата на плоскости: (0,1) × (0,1). Должны выполняться условия:

1) x+ y ≤ 1 или y ≤ 1-х ,

2)  xy ≤1/9  или y ≤1/9x . Вероятность того, что выполняются эти условия равно отношению площади фигуры, определяемой этими ограничениями (в квадрате) к площади квадрата, то есть к 1. Чтобы подсчитать площадь фигуры, сделаем схематический чертеж:

[pic 12]

Так как y должен лежать ниже обеих линий, то оба ограничения выполняются в нижней закрашенной фигуре. Найдем точки пересечения кривых:

[pic 13]

Найдем площадь закрашенной фигуры как площадь половины квадрата минус площадь части, которая из нее «вырезана»

[pic 14]

Поэтому искомая вероятность равна 0,3411.

Задача 4.

Вероятность того, что Саша закажет кофе равна p1=0,6 , тогда вероятность того, что не закажет кофе равна q1=1-p1=1-0,6=0,4. Аналогично для Маши и Коли: p2=0,7; q2=1-p2=1-0,7=0,3; p3=0,5; q3=1-p3=1-0,5=0,5

Найдем вероятность события А – будет заказано только одно кофе, его может заказать, только Саши или только Маша, или только Коля.
[pic 15]

Найдем вероятность события B – будет заказано только 2 кофе, их может заказать, только Саша и Маша или только Маша и Коля, или только Саша и Коля.
[pic 16]
Вывод: вероятней всего, что будет заказано 2 кофе.

Задача 5.

Рассмотрим гипотезы:

[pic 17] –анкету заполняла женщина;

[pic 18] анкету заполнял мужчина.

Вероятности для гипотез следующие:

[pic 19] 

Событие А – анкета содержит негативную реакцию.

[pic 20]– анкету содержащую негативную реакцию заполняла женщина;

[pic 21]– анкету содержащую негативную реакцию заполнял мужчина.

Условные вероятности равны:

[pic 22]

Искомую вероятность найдем по формуле полной вероятности:

[pic 23]
Найдем вероятность того, что анкета содержит позитивную реакцию:

[pic 24]

Используя формулу Байеса найдем вероятность того, что анкету, содержащую позитивную реакцию заполняла женщина:

[pic 25]

Задача 6.

Для решения задачи используем формулу Бернулли:

[pic 26]

Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41 размера равна[pic 27]

Тогда вероятность того, что покупателю не понадобится обувь 41 размера равна [pic 28]

Найдем вероятность того, что из 5 покупателей обувь 41 размера понадобиться по крайней мере двум покупателям:

[pic 29] Вероятность того, что покупателю необходима обувь 42 размера равна[pic 30]

Тогда вероятность того, что покупателю не понадобится обувь 42 размера равна [pic 31]

Найдем вероятность того, что из 5 покупателей обувь 42 размера понадобиться не более чем одному покупателю:

[pic 32]

Вероятней будет, когда обувь 42 размера понадобиться не более ем одному покупателю.

...