Контрольная работа по "Теория вероятности"

Дисциплина «Спецматематика»

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

для студентов 2 курса энергетического факультета заочной формы обучения направления «Теплоэнергетика и теплотехника»

        В задачах 1-20 решить дифференциальные уравнения.

16. а) [pic 1];

Решение. Заменим [pic 2]  и умножим обе части на dx:

[pic 3].

Получили уравнение с разделяющимися переменными, так как оно имеет вид [pic 4]. Разделим переменные, умножив обе части уравнения на разделяющий множитель [pic 5] (при [pic 6], [pic 7]):

[pic 8].

 Интегрируя последнее равенство, найдем общее решение:

[pic 9]

[pic 10].

Ответ: [pic 11].

б) [pic 12]

Решение. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения [pic 13]. Характеристическое уравнение [pic 14] имеет корни k1,2 = 1 ± 2i = α ± βi, тогда

[pic 15].

Правая часть данного уравнения имеет вид [pic 16],  так как числа [pic 17] не являются корнями характеристического уравнения, тогда частным решением будет [pic 18] [pic 19]. Найдем [pic 20], [pic 21] и подставим в левую часть данного уравнения.

[pic 22];

[pic 23];

[pic 24]

[pic 25];

преобразовав полученное выражение, получим

[pic 26];

[pic 27];

[pic 28].

Отсюда, приравнивая коэффициенты при sin x и cos x, определим неизвестные А  и В:

[pic 29]

Следовательно, частное решение [pic 30], а общее решение неоднородного уравнения:

[pic 31].

Далее, воспользовавшись условием Коши: y(0) = 1 и y′(0) = 0, найдем
его частное решение. Для этого необходимо вычислить [pic 32] [pic 33][pic 34]. Подставив в [pic 35] и [pic 36] начальные значения: x = 0, y = 0 и y′ = 1, получим систему, из которой определим С1 и С2.

[pic 37]

[pic 38]

Следовательно, искомое частное решение данного уравнения будет
таким [pic 39] 

[pic 40].

Ответ: [pic 41].

В задачах 21-40 найти вероятности указанных событий, используя формулы повторных независимых испытаний.

        36. При эпидемии гриппа 40% населения заражаются вирусом гриппа. В лаборатории числятся 100 сотрудников. Какова вероятность того, что ровно 75 человек заболеют гриппом?

Решение: По условию задачи: n = 100 (велико); p = 40%  =   0,4 (мало); k = 75.  В данном случае выполнено условие локальной теореме Лапласа.

[pic 42],

где [pic 43], ϕ(x) – чётна, ϕ (–x) = ϕ (x).

Для начала найдём:

[pic 44].

По таблице значений функции ϕ(x) определяем ϕ(7,14) ≈ 0, тогда

[pic 45].

Ответ:  вероятность того, что ровно 75 человек заболеют гриппом равна 0.

                Задачи 41-60. Участок электрической цепи состоит из элементов, соединенных по указанной схеме. Выход из строя за время Т различных элементов системы – независимые события, имеющие вероятности, приведенные в таблице. Вычислить вероятность отказа от работы системы за указанный промежуток времени.

56. [pic 46]

[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]