Контрольная работа по "Теория вероятностей"

Контрольная работа № 6

Задача 1.14. Стрелок делает по мишени 3 выстрела, вероятности поражения мишени при которых соответственно равны 0.7, 0.8 и 0.85. Найти вероятность одного попадания.

Решение: Пусть Ai  = {поражение мишени при i-ом выстреле}, i = 1, 2, 3.

Событие A – произошло одно попадание.

По условию [pic 1]

Значит [pic 2] Переходя в этом равенстве к вероятностям, получим

[pic 3]

Задача 2.14. С поляны ведут 3 дороги, вероятности выхода из леса за час по ним равны соответственно: 0.7, 0.3, 0.2. Выбрав наугад дорогу, заблудившийся вышел из леса за час. Какова вероятность того, что он пошел по второй дороге?

Решение: В данном случае событие A (заблудившийся через час вышел из леса) произошло. Поэтому используем формулу Байеса. Искомая вероятность того, что турист пошел по второй дороге, если через час он вышел из леса, равна

[pic 4]

где [pic 5] = {заблудившийся пойдет по i-й дороге, i = 1, 2, 3}.

Очевидно, что все 3 событий равновероятны, т.е.

[pic 6]

Значения условных вероятностей даны в условии задачи:

[pic 7]

Отсюда имеем:

[pic 8]

Задача 5.14. Случайная величина [pic 9] распределена по нормальному закону с [pic 10] [pic 11] Найти [pic 12]

Решение: Воспользуемся формулой:

[pic 13]

где [pic 14] интеграл Лапласа.

Для заданных значений имеем

[pic 15]

По таблице значений для интеграла Лапласа находим:

[pic 16]

откуда окончательно получаем

[pic 17]

Задача 6. Даны результаты наблюдений случайной величины [pic 18] Разделив интервал значений [pic 19] на десять равных частей, построить группировку, гистограмму, эмпирическую функцию распределения, найти оценки математического ожидания и дисперсии исследуемой случайной величины. На основе этих построений выдвинуть гипотезу о законе распределения [pic 20] и на графике гистограммы изобразить выравнивающую кривую. На уровне значимости [pic 21] по критерию Колмогорова установить согласие или несогласие выдвинутой гипотезы с результатами наблюдений.

6.14         25.1, 14.8, 9.3, 11.1, 20.9, 14.6, 8.3, 8.2, 19.2, 8.3, 22.4, 10.4, 17.6, 13.5, 7.9,

6.4, 9.5, 6.3, 10.1, 11.5, 19.2, 11.8, 8.2, 8.1, 8.6, 4.0, 6.3, 17.8, 17.2, 9.1, 15.7,

7.1, 6.9, 2.8, 13.5, 14.6, 12.5, 17.4, 8.2, 18.8, 3.8, 4.8, 13.0, 3.9, 5.1, 4.5, 14.4,

13.3, 10.4, 4.8, 12.1, 6.7, 21.6, 7.1, 4.6, 22.2, 10.2, 8.1, 10.5.

Решение: Объем данной выборки (то есть число объектов в выборке) равен n = 59. Выберем из имеющихся результатов наблюдения максимальную [pic 22] и минимальную [pic 23] варианты: [pic 24] тогда размах выборки [pic 25] Разделим весь полученный диапазон наблюдаемых значений на 10 равных частей. Получим разряды [pic 26] причем длина каждого разряда равна [pic 27] Распределим компоненты выборки по десяти разрядам длины [pic 28]

[pic 29] 2,8;  3,8;  3,9;  4,0;  4,5;  4,6;  4,8;  4,8;

[pic 30] 5,1;  6,3;  6,3;  6,4;  6,7;  6,9;  7,1;  7,1;

[pic 31] 7,9;  8,1;  8,1;  8,2;  8,2;  8,2;  8,3;  8,3;  8,6;  9,1;  9,3;

[pic 32] 9,5;  10,1;  10,2;  10,4;  10,4;  10,5;  11,1;  11,5;

[pic 33] 11,8;  12,1;  12,5;  13,0;  13,3;  13,5;  13,5;

[pic 34] 14,4;  14,6;  14,6;  14,8;  15,7;

[pic 35] 17,2;  17,4;  17,6;  17,8;

[pic 36] 18,8;  19,2;  19,2;

[pic 37] 20,9;  21,6;  22,2;  22,4;

[pic 38] 25,1

Построим группировку.