Контрольная работа по "Теории вероятностей"

Оглавление

Задание 1.        3

Задание 2        4

Задание 3.        5

Задание 4.        5

Задание 5.        6

Задание 6.        7

Задание 7.        8

Задание 8.        9

Задание 9.        10

Задание 10.        11

Задание 1.

Испытание – однократное бросание двух игральных кубиков. Пусть n1 – число очков, выпавших на первом кубике, n2– число очков, выпавших на втором кубике. Найти вероятность указанного ниже события.

1.[pic 1]

Решение

Необходимо найти вероятность, что сумма очков, выпавших на обоих кубиках равна 7.

Пусть m – число благоприятных исходов, а n – общее число исходов.

Тогда искомая вероятность будет равна [pic 2].

Для благоприятных исходов возможны следующие варианты: {1;6}; {6;1}; {5;2}; {2;5}; {4;3}; {3;4}. Следовательно, m=6.

У двух кубиков 6 граней, следовательно, общее число исходов равно n=6×6=36.

Тогда искомая вероятность равна [pic 3]

2.Найти вероятность, что число очков хотя бы на одном кубике чётно

Решение

Пусть m – число благоприятных исходов, а n – общее число исходов.

Тогда искомая вероятность будет равна [pic 4].

Для благоприятных исходов возможны следующие варианты: {1;2}; {1;4}; {1;6}; {2;1}; {2;2}; {2;3}; {2;4}; {2;5}; {2;6}; {3;2}; {3;4}; {3;6}; {4;1}; {4;2}; {4;3}; {4;4}; {4;5}; {4;6}; {5;2}; {5;4}; {5;6}; {6;1}; {6;2}; {6;3}; {6;4}; {6;5}; {6;6}. Следовательно, m=27

У двух кубиков 6 граней, следовательно, общее число исходов равно n=6×6=36.

Тогда искомая вероятность равна [pic 5]

Задание 2

1.В ящике 10 белых и 15 чёрных шаров. Наугад извлекают 5 шаров. Найти вероятность события «среди извлечённых шаров будет ровно 2 белых»

Решение

Всего шаров 10+15=25

Общее число исходов при извлечении 5 шаров из ящика:

[pic 6]:

Количество способов выбора из 10 белых 2 шаров:

[pic 7]

Количество способов выбора из 15 черных шаров остальные 3:

[pic 8]

Вероятность того, что среди выбранных 5 шаров 2 белых равна:

[pic 9]

2.Из студенческой группы, в которой 10 студентов и 12 студенток, для анкетирования произвольным образом выбрано 5 человек. Найти вероятность события «среди выбранных будет хотя бы одна студентка»

Решение

Всего в группе 10+12=22 человека.

Общее число исходов при выборе 5 человек для анкетирования:

[pic 10]:

Количество способов выбора из 12 студенток одной:

[pic 11]

Количество способов выбора из 10 студентов остальных 4:

[pic 12]

Вероятность того, что среди выбранных 5 человек 1 девушка равна:

[pic 13]

Задание 3.

Имеется n ящиков и r шаров. Шары наугад размещают по ящикам. Найти вероятность указанного события.

1.Все шары попадут в один ящик

Решение

Вероятность шара попасть в любой ящик равна 1, поэтому вероятность того, что все шары попадут в один ящик, равна:

[pic 14]

2.Все шары попадут в два ящика

Решение

Вероятность шара попасть в любой ящик равна 1, поэтому вероятность того, что все шары попадут в два ящика, равна:

[pic 15]

Задание 4.

Проводятся 10 независимых испытаний с вероятностью успеха p . Найти вероятность указанного случайного события.

1.Число успехов не меньше трёх

Решение

Решим задачу методом от противного. Найдем вероятность того, что число успехов меньше трех раз. Это число может равняться 0,1,2.

По формуле Бернулли находим вероятность для каждого варианта.

[pic 16] или [pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Тогда [pic 21]

Отсюда искомая вероятность равна:

[pic 22]

2. «Число успехов больше 5, но меньше 8».

Решение

Число успехов может быть 6 или 7.

[pic 23]

[pic 24]

Отсюда

[pic 25]

Задание 5.

Бросается игральный кубик. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X(n) , где n – число выпавших очков.