Контрольная работа по "Математике"

Содержание

1.Тема 1.Теоретические основы оптимизации.

Задание 1.Найдите экстремум функции нескольких переменных……………………………3

Задание 2.Найдите экстремум функции нескольких переменных при заданном                                         ограничении ……………………………………………………………………………………………….7

2.Тема 2.Линейное программирование.                    

 Задание 1.Решить задачу линейного программирования графическим методом…………..9

Задание 2.Решить симплексным методом задачи линейного программирования…………10

Задание 3.Составить двойственную задачу, решить ее графическим методом,используя вторую теорему двойственности, найти решение исходной задачи………………………………….12

Задание 4.Составить математическую модель задачи линейного программирования и найти ее решение………………………………………………………………………………………...15

3.Тема 3.Специальные методы оптимизации.

Задача 1.Теория игр. Игра в чистых стратегиях……………………………………………...23

Задача 2.Игры в смешанных стратегиях(решить задачу аналитически и графически)……24

Задача 3.Принятие решений в условиях недостатка информации.

Список  литературы…………………………………………………………….........................28

Тема 1. Теоретические основы оптимизации

Задание1 Найдите экстремум функции нескольких переменных

Решение

Находим частные производные первого порядка:

[pic 2]

Решаем систему уравнений и находим критические точки:

[pic 3]

Из первого уравнения выражаем y:

[pic 4]

Подставим во второе уравнение:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Получили уравнение аналогичное уравнению в первом случае.

Находим значения y:

[pic 8]

Получаем следующие критические точки: [pic 9]

Определяем, является ли стационарные точки, точками экстремума и если да, то какой вид экстремума достигается.

Находим частные производные второго порядка:

[pic 10]

Найдем значение частных производных второго порядка в точке [pic 11]:

[pic 12]

 - значит в точке М1 имеется минимум.[pic 13]

Найдем значение частных производных второго порядка в точке [pic 14]:

[pic 15]

 - значит в точке М2 экстремума нет.[pic 16]

Найдем значение частных производных второго порядка в точке [pic 17]:

[pic 18]

 - значит в точке М3 экстремума нет.[pic 19]

Найдем значение частных производных второго порядка в точке [pic 20]:

[pic 21]

 - значит в точке М4 имеется максимум.[pic 22]

Найдем значение частных производных второго порядка в точке [pic 23]:

[pic 24]

 - значит в точке М5 экстремумов нет.[pic 25]

Найдем значение частных производных второго порядка в точке [pic 26]:

[pic 27]

 - значит в точке М4 экстремумов нет.[pic 28]

[pic 29]

Задание 2.  Найдите экстремум функции нескольких переменных при заданном ограничении

Решение

1. Составляем функцию Лагранжа:

[pic 32]

1. Составим систему.

[pic 33]

Получаем две критические точки [pic 34]

1. Находим вторые производные, составим матрицу Гессе:

[pic 35]

1. Находим угловые миноры при [pic 36]:

[pic 37]

Матрица Гессе в точке [pic 38] отрицательно определенная и [pic 39] - точка максимума

1. Находим угловые миноры при [pic 40]:

[pic 41]

Матрица Гессе в точке [pic 42] положительно определенная и [pic 43] - точка минимума