Контрольная работа по "Математике"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Задание 1 к разделу 1

Решить систему алгебраических уравнений:

1. по правилу Крамера;

2. методом Гаусса;

3. матричным способом.

[pic 1]

Решение

                   l = 8,   m = 0,   n =1.

Решаем систему алгебраических уравнений:

                   [pic 2]

Вычислим определитель системы, пользуясь разложением по элементам первой строки:

[pic 3]

Так как  главный определитель [pic 4], то система имеет единственное решение.

1) Найдем решение системы по правилу Крамера.

Вычислим дополнительные определители:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Применяя формулы Крамера, находим решение системы уравнений:

[pic 8]

Следовательно, [pic 9] решение системы.

2) Найдем решение системы методом Гаусса. 

Запишем расширенную матрицу системы и проведём с её строками элементарные преобразования:

[pic 10]

Отсюда получаем систему уравнений:

[pic 11]

Решая полученную систему, находим значения неизвестных:

[pic 12]

Итак: [pic 13]  решение системы.

3) Найдем решение системы матричным способом.

Перепишем систему в матричном виде АХ = В, где

[pic 14]

Решение матричного уравнения имеет вид:  Х = А-1В.

Найдём обратную матрицу А-1, для этого вычислим  определитель

[pic 15]

Вычислим алгебраические дополнения элементов определителя Δ:

[pic 16]

Получаем обратную матрицу:

 [pic 17] 

Тогда матрица-столбец  Х = А-1В  имеет вид:

[pic 18]

Ответ: [pic 19].

Задание 1 к разделу 2

Даны координаты точек А (-2; 1; l); B (3; 2; m); C (-3; 1; n).

Найти:

1. периметр [pic 20]АВС;
2. больший угол  [pic 21]АВС;
3. площадь [pic 22]АВС;
4. уравнение прямой (АВ);
5. уравнение плоскости [pic 23]АВС.

Решение

                   l = 8,  m = 0,  n =1.

         А (-2; 1; 8); B (3; 2; 0); C (-3; 1; 1).

1) Найдем периметр [pic 24]АВС.

Сначала найдем векторы [pic 25] и их длины:

[pic 26],

[pic 27] 

[pic 28],

[pic 29]

[pic 30],

[pic 31]

Тогда периметр [pic 32]АВС равен:

           Р = АВ + АС + ВС ≈ 9,487 + 7,071 + 6,164 = 22,722.

2) Найдем больший угол  [pic 33]АВС.

Больший угол треугольника ([pic 34]АВС) лежит против большей стороны (в данном случае – стороны АВ), следовательно, это угол АСВ.

Угол ∠АСВ находим с помощью скалярного произведения:

[pic 35]

Отсюда получаем: [pic 36].

3) Найдем площадь ΔАВС.

Площадь ΔАВС определяется с учётом геометрического смысла векторного произведения: [pic 37]

Найдем векторное произведение:

[pic 38]тогда

  [pic 39](кв. ед.).

4) Найдем уравнение прямой (АВ) по формуле:

[pic 40],

при А (-2; 1; 8) и  B (3; 2; 0)  получаем:

[pic 41]

5) Найдем уравнение плоскости АВС по формуле:

[pic 42]

Получаем при   А (-2; 1; 8); B (3; 2; 0); C (-3; 1; 1) :

[pic 43]

[pic 44]

Итак, общее уравнение плоскости имеет вид:  [pic 45].

Ответ:    1) 22,722;    2) [pic 46];    3) [pic 47]кв.ед.;  

                 4)  [pic 48];     5)  [pic 49].

Задание 1 к разделу 3

Установить, что векторы [pic 50] образуют базис, и найти координаты вектора [pic 51] в этом базисе, если [pic 52].