Контрольная работа по «Математике»
Автор: A.Shazhankanov • Октябрь 2, 2024 • Контрольная работа • 960 Слов (4 Страниц) • 19 Просмотры
Министерство науки и высшего образования РФ
Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники
Контрольная работа № 2
по дисциплине «Математика»
Вариант № 1
Томск — 2023
Вариант 2.1.
1. Найдите производные от данных функций:
а) [pic 1], [pic 2].
б) [pic 3].
в) [pic 4].
Решение.
При вычислении воспользуемся формулами производной суммы, произведения, частного и производной сложной функции:
а) [pic 5], [pic 6].
[pic 7][pic 8].
б) [pic 9].
[pic 10][pic 11]
в) [pic 12].
[pic 13]
[pic 14].
2. Дана функция [pic 15]. Найдите [pic 16]. Вычислите [pic 17].
Решение:
Возьмем первую производную, воспользовавшись правилами производной суммы, произведения и производной сложной функции:
[pic 18]
Возьмем вторую производную:
[pic 19].
Вычислим [pic 20]:
[pic 21].
3. Задана функция [pic 22]. Найдите [pic 23] и [pic 24]. Вычислите [pic 25] и [pic 26].
Решение:
Найдем первую производную:
[pic 27]
и ее значение в точке х =[pic 28]:
[pic 29].
Найдем вторую производную:
[pic 30]и ее значение в точке х =[pic 31]:
[pic 32].
Задача 4. Докажите, что функция [pic 33] удовлетворяет уравнению:
[pic 34].
Решение:
Найдем частные производные. При отыскании [pic 35] дифференцируем функцию z считая что у является константой, т.е. постоянной величиной.
[pic 36].
[pic 37].
Далее находим:
[pic 38].
[pic 39].
Подставляем найденные величины в заданное тождество:
[pic 40]
Упростим:
[pic 41]
Мы получили тождество. Следовательно, функция [pic 42] удовлетворяет уравнению:
[pic 43].
5. Дана функция [pic 44]. Найдите [pic 45]. Вычислите [pic 46].
Решение:
Найдем частные производные
[pic 47]
Поэтому,
[pic 48]
Вычислим [pic 49]:
[pic 50]
6. Дана функция [pic 51]. Найдите:
а) координаты вектора grad u в точке [pic 52];
б) [pic 53]в точке М в направлении вектора а{2,3,6};
Решение:
а) найдем градиент в точке М:
Вычислим частные производные функции:
[pic 54]
и их значения в точке [pic 55];
[pic 56]
Следовательно, [pic 57]
б) [pic 58]в точке М в направлении вектора а{2,3,6};
Находим орт вектора а:
[pic 59]
Тогда
[pic 60].
7. Найдите [pic 61], если [pic 62]. Вычислите [pic 63], если [pic 64].
Решение:
Найдем первую производную параметрически заданной функции:
[pic 65]
где
[pic 66]
Следовательно:
[pic 67]
Найдем вторую производную по формуле:
[pic 68]
Вычислим:
[pic 69]
Вторая производная имеет вид:
[pic 70]
Найдем значение производной при заданном значении параметра:
[pic 71].
8. Функция [pic 72], задана неявно уравнением
[pic 73].
Вычислите:
а) [pic 74];
б) [pic 75].
Решение:
[pic 76].
Из уравнения находим:
[pic 77].
Для нахождения производной неявно заданной функции воспользуемся формулами:
[pic 78]
где
[pic 79]
...