Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа №2.

Вариант 2.

Задание 1. Провести полное исследование функции и построить график:

[pic 1]

Решение:

1. Областью определения функции будет D(f) = (-∞; 0)U(0; +∞).

2. Найдем[pic 2], то есть функция [pic 3]не является четной, не является нечетной.

3. а) Найдем точки пересечения с осью абсцисс: y = 0, поэтому

[pic 4], откуда [pic 5].

б) Точек пересечения с осью ординат нет.

4. Исследуем поведение функции в точке разрыва x= 0

[pic 6]

x= 0 – точка разрыва второго рода

x= 0 – вертикальная асимптота

5. Нахождение асимптот функции:

[pic 7]

y=-2x – наклонная асимптота

6. Для нахождения точек экстремума найдем производную функции

[pic 8]

[pic 9].

Решая уравнение [pic 10],находим критические точки:  x = -1

Так как при переходе через точку х = -1 знак производной функции меняется с «минуса» на «плюс», то точка х = -1 является точкой минимума[pic 18].

7. Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

        [pic 19]

Точек перегиба нет.

Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:

x< 0,                 y′′> 0,  кривая вогнутая

0<x,                   y′′> 0,   кривая вогнутая

[pic 26]

Задание 2. Найти  действительную  часть  комплексного  числа  z=[pic 27]

Решение:  

Умножим  числитель  и  знаменатель  дроби  на  число,  сопряженное  знаменателю,  перемножим  множители,  используя  формулы  сокращенного  умножения,  выполним  преобразования,  учитывая,  что  [pic 28]

[pic 29]

Re(z)=1

Ответ:   Re(z)=1.

Задание 3. Найти  неопределенный  интеграл:  [pic 30]

Решение:  

Несколько  преобразуем  подинтегральную  функцию,  а  потом  найдем  интеграл:

[pic 31]

Ответ:[pic 32]

Задание 4. Найти  неопределенный  интеграл:[pic 33]

Решение:

   =[pic 34][pic 35]

Ответ:[pic 36]

Задание 5. Найти  неопределенный  интеграл:  [pic 37]

Решение:  

[pic 38]

Ответ: [pic 39].

Задание 6. Найти  неопределенный  интеграл:   [pic 40]

Решение:

[pic 41]

Ответ: [pic 42].

Задание 7. Найти  неопределенный  интеграл:   [pic 43]

Решение:  

Пусть u=x-1,  тогда  du=dx,  получаем:

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

Ответ:  .[pic 47]

Задание 8. Вычислить  определенный  интеграл:   [pic 48]

Решение:

[pic 49]

Ответ: [pic 50].

Задание 9. Вычислить  определенный  интеграл:   [pic 51]

Решение:

[pic 52]

Ответ: [pic 53].

Задание 10. Вычислить  несобственный  интеграл  или  указать  его  расходимость:  [pic 54]

Решение:

  [pic 55]

[pic 56]

Ответ: -[pic 57]

Задание 11. Вычислить длину дуги кривой: [pic 58]

Решение:

Длина  кривой, заданной уравнением в декартовой системе координат , где , вычисляется по формуле:[pic 59][pic 60][pic 61]