Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа.

Вариант 2.

Задание 1. Для определителя найти алгебраическое дополнение элемента .[pic 1][pic 2]

Решение:

=[pic 3][pic 4]

Ответ: -31.

Задание 2. Найти матрицы  ,  ,  ,[pic 5][pic 6][pic 7]

 если ,  .[pic 8][pic 9]

Решение:

[pic 10]

[pic 11]

Найдем :[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

Ответ: 
[pic 26]

[pic 27]

.[pic 28]

Задание 3. Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить её по правилу Крамера.

.[pic 29]

Решение:

[pic 30]

Так как , то система имеет единственное решение.[pic 31]

Решим систему методом Крамера:

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

.[pic 37]

Ответ: (3,2,0).

Задание 4. Доказать, что вектора  образуют базис, и найти координаты вектора  в этом базисе.[pic 38][pic 39]

Решение:

Вычислим определитель матрицы перехода, составленной из координат векторов [pic 40]

[pic 41]

Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трем и из теоремы о базисном миноре следует, что вектора  линейно независимые и могут быть приняты в качестве базиса в пространстве .[pic 42][pic 43]

Пусть - координаты вектора  в базисе  тогда, согласно теореме о разложении вектора по базису в пространстве имеем:[pic 44][pic 45][pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

Решим систему методом Крамера:

[pic 50]

Так как , то система имеет единственное решение.[pic 51]

Решим систему методом Крамера:

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

.[pic 57]

Ответ: [pic 58]

Задание 5. Вершины пирамиды находятся в точках А (7,4,9), B (1,-2, -3), С(-5, -3, 0), D(1, -3, 4). Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение:

Найдем объем пирамиды ABCD  по формуле:

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

Найдем площадь грани ABD по формуле:

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

Найдем длину высоты, опущенной из вершины С:

[pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

Ответ: ,  .[pic 72][pic 73]

Задание 6. Найти расстояние от точки  до плоскости, проходящей через точки , , , если , , , .[pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]

Решение:

 - уравнение плоскости, проходящей через три точки , , [pic 82][pic 83][pic 84][pic 85]