Контрольная работа по "Математике"

Вариант 2

Задание 1. Найти неопределённые интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.

а) ∫▒(∛(4+lnx) dx)/x=|■(t=4+lnx@dt=dx/x)|=∫▒〖t^(1/3) dt〗=t^(4/3)/4*3+C=3/4 (4+lnx)^(4/3)+C

Проверка:

(3/4 (4+lnx)^(4/3)+C)^'=3/4*4/3*(4+lnx)^(1/3)/x=(4+lnx)^(1/3)/x

б) ∫▒xsinxcosxdx=|■(u=x,du=dx@dv=cosxsinxdx,v=sin^2⁡x/2)|=(xsin^2 x)/2-1/2 ∫▒〖sin^2⁡x dx〗=

=(xsin^2 x)/2-1/4 ∫▒〖(1-cos2x)dx〗=(xsin^2 x)/2-x/4+sin2x/8+C

Проверка:

((xsin^2 x)/2-x/4+sin2x/8+C)^'=sin^2⁡x/2+2xsinxcosx/2-1/4+2cos2x/8=(1-cos2x)/4+

+xsinxcosx-1/4+cos2x/4=xsinxcosx

в) ∫▒(x^2 dx)/(x^4-81)=∫▒(x^2 dx)/(x-3)(x+3)(x^2+9) =∫▒(1/2(x^2+9) -1/12(x+3) +1/12(x-3) )dx=

=1/6 arctg(x/3)-ln⁡|x+3|/12+ln⁡|x-3|/12+C

г) ∫▒(√(x+5) dx)/(1+∛(x+5))=|■(t=x+5@dt=dx)|=∫▒(√t dt)/(1+∛t)=|■(u=√t,t=u^2@dt=2udu)|=∫▒(2u^2 du)/(u^(2/3)+1)=

=|■(u=s^6@du=6s^5 ds)|=12∫▒(s^17 ds)/(s^4+1)=|■(p=s^2@dp=2sds)|=6∫▒(p^8 dp)/(p^2+1)=

=6∫▒(p^6-p^4+p^2-1+1/(p^2+1))dp=(6p^7)/7-(6p^5)/5+2p^3-6p+6arctgp+C=

=(6s^14)/7-(6s^10)/5+2s^6-6s^2+6arctgs^2+C=(6u^(7/3))/7-(6u^(5/3))/5+2u-6u^(1/3)+6arctgu^(1/3)+C=

=(6t^(7/6))/7-(6t^(5/6))/5+2t^(1/2)-6t^(1/6)+6arctgt^(1/6)+C=

=(6〖(x+5)〗^(7/6))/7-(6〖(x+5)〗^(5/6))/5+2〖(x+5)〗^(1/2)-6〖(x+5)〗^(1/6)+6arctg〖(x+5)〗^(1/6)+C

Задание 2. Вычислить несобственные интегралы.

∫_0^(+∞)▒〖x^2 e^(-x^3 ) dx〗

∫_0^(+∞)▒〖x^2 e^(-x^3 ) dx〗=lim┬(b→+∞)⁡∫_0^b▒〖x^2 e^(-x^3 ) dx〗=-1/3 lim┬(b→+∞)⁡∫_0^b▒〖e^(-x^3 ) d(e^(-x^3 ) ) 〗=-1/3 lim┬(b→+∞)⁡〖e^(-x^3 ) |_0^b 〗=

=-1/3 lim┬(b→+∞) (e^(-b^3 )-1)=-1/3*(0-1)=1/3-сходится

Задание 3. Приложения определенного интеграла.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y=3x^2+1 и прямой y=3x+7

Абсцисса точек пересечения: 3x^2+1=3x+7

3x^2=3x+6

x^2=x+2

x^2-x-2=0

D=1-4*1*(-2)=9

x=(1-3)/2=-1,x=(1+3)/2=2

S=∫_(-1)^2▒(3x+7-3x^2-1)dx=∫_(-1)^2▒(3x+6-3x^2 )dx=((3x^2)/2+6x-x^3 ) |_(-1)^2=

=3*4/2+12-8-(3/2-6+1)=13.5

Задание 4. Вычислить двойной интеграл по указанной области D.

∬▒〖(4xy+176x^3 y^3 )dxdy;D:x=1,y=∛x,y=-x^3 〗

4∫_0^1▒xdx ∫_(-x^3)^(∛x)▒(y+4x^2 y^3 )dy=4∫_0^1▒xdx*(y^2/2+x^2 y^4 ) |_(-x^3)^∛x=

=4∫_0^1▒xdx*(x^(2/3)/2+x^(10/3)-x^6/2-x^14 )=4∫_0^1▒(x^(5/3)/2+x^(13/3)-x^7/2-x^15 )dx=

=4(x^(8/3)/16*3+x^(16/3)/16*3-x^8/16-x^16/16) |_0^1=4(3/16+3/16-1/16-1/16-0)=4(3/8-1/8)=4*1/4=1

Задание 5. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного указанными поверхностями.(решение этого задания - по выбору)

z=0,x^2+y^2=z,x^2+y^2=4

Перейдем к полярным координатам:

x=rcosφ,y=rsinφ,x^2+y^2=r^2

z=0,z=r^2,r=2

Область интегрирования:

V:{█(0≤φ≤2π@0≤r≤2@0≤z≤r^2 )┤

V=∫_0^2π▒dφ ∫_0^2▒rdr ∫_0^(r^2)▒dz=∫_0^2π▒dφ ∫_0^2▒rdr*〖z|〗_0^(r^2 )=∫_0^2π▒dφ ∫_0^2▒〖r^3 dr〗=∫_0^2π▒dφ*r^4/4 |_0^2=

=∫_0^2π▒(16/4-0)dφ=4∫_0^2π▒dφ=4φ|_0^2π=4(2π-0)=8π

Задание 6. Вычислить криволинейный интеграл. Сделать чертеж.

∫▒〖(x-y)dx-(x-y)dy〗 вдоль ломаной L=OAB, где О(0,0), А(2,0), В(4,5).

Применим формулу Грина:

dQ/dx=(x-y)^'=1

dP/dy=(-(x-y))^'=1

∫▒〖(x-y)dx-(x-y)dy〗=∬▒〖(1+1)dxdy〗=2∬▒dxdy

Найдем уравнение прямых: OA:y=0,AB:(x-2)/2=y/5,5x-10=2y,5x=2y+10

x=2y/5+2

OB:x/4=y/5,x=4y/5

=2∫_0^5▒dy ∫_(4y/5)^(2y/5+2)▒dx=2∫_0^5▒dy*x|_(4Y/5)^(2y/5+2)=2∫_0^5▒dy*(2y/5+2-4y/5)=2∫_0^5▒(2-2y/5)dy=

=2(2y-y^2/5) |_0^5=2(5*2-5^2/5-0)=2(10-5)=2*5=10

Задание 7. Проверить, является ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.

F=(6xy-2x)i+(3x^2-2z)j+(1-2y)k

Для потенциальности поля необходимо и достаточно, чтобы rotF=0

rotF=(∂R/∂y-∂Q/∂z)i+(∂P/∂z-∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂P/∂y)k=

=(-2+2)i+(0-0)j+(6x-6x)k=0-поле потенциальное

Для соленоидальности поля