Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа по дисциплине:

«МАТЕМАТИКА»

Задание 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Требуется: 1) найти ее решение методом Гаусса; 2) по формулам Крамера.

[pic 1]

1) Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

[pic 2]

Разделим обе части первого уравнения на (-3), чтобы первый элемент равнялся единице:
[pic 3]

Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на (2-):

[pic 4]

Умножим вторую строку на (– 3), чтобы второй элемент строки стал равен 1:

[pic 5]

Вычитаем из строки 3 строку 2, умноженную на 4:

[pic 6]

Разделим 3 строку на (- 63):

[pic 7]

Получаем систему:
[pic 8]

Используя обратный ход, находим:

 х3=163/61, из второго уравнения системы находим⁢x2=56/61

из уравнения 1 системы найдем переменную x1:

x1=-110/61

Общее решение: X=(−110/61;56/61;163/61)

Сделаем проверку:

-3*( - 110/61) + 5*56/61 = 330/61 + 280/61 = 610/61 = 10;

2* ( - 110/61) – 3*(56/61) + 5* 163/61 = -220/61 – 168/61 + 815/61 = 427/61 = 7;

4*56/61 – 163/61 = 224/61-163/61 = 61/61 = 1.

Ответ:

x1=−110/61;  x2=56/61;  x3=163/61

2)  Метод Крамера.

Находим главный определитель:

Δ =  = - 9 + 0 + 0 – 0  + 60 + 10  = 61.[pic 9]

Находим вспомогательные определители:

Δ1 =  = -110[pic 10]

Δ2 =  = 56[pic 11]

Δ3 =  = 163.[pic 12]

Тогда по формулам Крамера получаем:

x1=Δ1∕Δ=−110/61  

x2=Δ2∕Δ=56/61

 x3=Δ3∕Δ=163/61

Проверка:

-3*( - 110/61) + 5*56/61 = 330/61 + 280/61 = 610/61 = 10;

2* ( - 110/61) – 3*(56/61) + 5* 163/61 = -220/61 – 168/61 + 815/61 = 427/61 = 7;

4*56/61 – 163/61 = 224/61-163/61 = 61/61 = 1.

Ответ:

x1=−110/61;  x2=56/61;  x3=163/61

Задание 2.

По координатам вершин пирамиды А1А2А3А4 найти:

1) длины ребер А1А2 и А1А3;

уравнения прямых А1А2 и А1А3;

2)уравнение медианы А3М грани А1А2А3;

3) угол между ребрами А1А2 и А1А3;

4) площадь грани  А1А2А3;

5) объем пирамиды.

ДаноA1(-2,2,4), A2(-1,2,0), A3(-1,4,2), A4(3,-3,0).

Решение.
1) Найдем координаты векторов

=(-1-(-2);2-2;-4)= (1;0;-4)[pic 13]

 =(-1-(-2);4-2;2-4)= (1;2;-2).[pic 14]

Тогда длины ребер будут равны:

А1А2=√х2+y2+z2=√12+02+(-4)2=√17,

А1А3=√х2+y2+z2=√12+22+(-2)2=√9=3,

Уравнение прямой A1A2 с направляющим вектором n(1,0,-4) через точку (-2,2,4):[pic 15]