Контрольная работа по "Математике"

Найдём теперь второй дифференциал от сложной функции [pic 1], [pic 2]. Дифференциал [pic 3] независимой переменной по-прежнему  считается константой, но дифференциал промежуточной переменной [pic 4] является функцией независимой переменной [pic 5] и выносить его за знак дифференциала нельзя.

Используя инвариантность первого дифференциала, найдём

[pic 6]

Итак,

[pic 7].                                        (4)

Поскольку [pic 8] то из (4) видно, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы. Не обладают этим свойством и все последующие дифференциалы.

Замечание. Разделим обе части (4) на [pic 9], получим

[pic 10].                                 (5)

Формула (5) совпадает с формулой (1)§7, то есть

[pic 11].

ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§1. Возрастание функции в точке. Теорема Ферма

Пусть функция [pic 12] определена в некоторой окрестности точки [pic 13]. Говорят, что функция возрастает в точке [pic 14], если существует некоторая окрестность точки [pic 15] [pic 16], в которой функция возрастает, то есть

[pic 17] [pic 18]

Аналогично определяется убывание функции в точке.

Теорема 1. Если функция [pic 19] имеет производную в точке [pic 20] и [pic 21], то функция возрастает в точке [pic 22].

Доказательство.[pic 23][pic 24].

Возьмём [pic 25], тогда

[pic 26].                        (1)

Неравенство (1) означает, что [pic 27], если [pic 28], и [pic 29] если [pic 30], то есть функция [pic 31] возрастает в точке [pic 32]. Теорема доказана.

Очевидно, если [pic 33] то функция в точке [pic 34] убывает. Доказательство аналогично.

Замечание 1. Условие [pic 35] – достаточное, для возрастания (убывания) функции в точке [pic 36]. Но это условие не является необходимым. Например, функция [pic 37] возрастает в точке [pic 38], но [pic 39]

Определение. Функция [pic 40] достигает в точке [pic 41] локального максимума, если существует [pic 42] такая, что

[pic 43]  [pic 44].                                        (2)

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47][pic 48][pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]

[pic 61]

Аналогично, если

[pic 62],                                (3)

то в точке [pic 63] функция достигает локального минимума. Локальные максимум и минимум называются локальными экстремумами.

На рисунке [pic 64] – локальные минимумы, [pic 65] – локальный максимум.

Теорема 2 (Ферма). Если функция [pic 66] дифференцируема в точке [pic 67] и достигает в этой точке локального экстремума, то [pic 68].

Доказательство. От противного. Если [pic 69], то согласно теореме 1 функция в точке [pic 70] возастает, то есть не достигает локального экстремума. Если р[pic 71], то убывает и также не достигает экстремума. Получили противоречие. Теорема доказана.

Геометрически теорема Ферма означает, что в точке ([pic 72], f ([pic 73])) график функции [pic 74] имеет горизонтальную касательную.