Контрольная работа по "Математике"

Федеральное Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Интернет-Институт

Контрольная работа

по дисциплине Математика

Выполнил: Фарафонов Михаил Алексеевич

Проверил: Соколова Марина Юрьевна                

Тула 2022 г.

1. Найти произведение матрицы [pic 1] на матрицу [pic 2] и вычислить определитель матрицы  [pic 3], если [pic 4], [pic 5].

Решение.

Находим произведение матрицы [pic 6] на матрицу [pic 7]:

[pic 8]

Находим определитель матрицы  [pic 9]:

[pic 10]

2. Решить систему уравнений по правилу Крамера [pic 11]

Решение.

По формулам Крамера [pic 12] где [pic 13]– главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных;

[pic 14]– определитель системы, полученный путем замены i-го столбца главного определителя системы столбцом свободных членов:

[pic 15]

[pic 16];

[pic 17]

[pic 18][pic 19]

Находим решение системы [pic 20]

Ответ: [pic 21]

3. Вычислить предел [pic 22].

Решение.

Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x=–1 приводит к неопределенности [pic 23]. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители.

Т.к. [pic 24], но не совпадает со своим предельным значением, то [pic 25]:

[pic 26].

Ответ: [pic 27].

4. Вычислить предел [pic 28]

Решение.

В этом случае имеем неопределенность вида [pic 29]. Т.к. в числителе и знаменателе стоят многочлены, то для раскрытия неопределенности  необходимо числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень x из слагаемых многочленов числителя и знаменателя, т.е. на [pic 30], а затем перейти к пределу:

[pic 31]

[pic 32]

Ответ: –3.

5. Вычислить предел [pic 33].

Решение.

Под знаком предела есть иррациональность в знаменателе дроби. Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x= 4 приводит к неопределенности вида [pic 34].

Чтобы раскрыть эту неопределенность, достаточно числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела,  домножить на выражение, сопряженное знаменателю дроби:

[pic 35]

Ответ: [pic 36].

6. Вычислить предел [pic 37].

Решение.

При x=0 числитель и знаменатель дроби равны 0, имеем неопределённость вида [pic 38]. Воспользуемся заменой на эквивалентную бесконечно малую. При [pic 39], [pic 40]. Тогда:

[pic 41]

Ответ: [pic 42].

7. Вычислить предел [pic 43].

Решение.

[pic 44]

При вычислении этого предела использована обобщенная формула второго замечательного предела [pic 45]и теорема о пределе показательно-степенной функции: [pic 46], где [pic 47]конечная или бесконечно удаленная точка.

Ответ: [pic 48].

8. Составить уравнение касательной к данной кривой в точке с абсциссой [pic 49].

[pic 50], [pic 51].[pic 52]

Решение.

Уравнение касательной: [pic 53]

Находим [pic 54].

Находим производную функции и вычисляем ее значение при [pic 55]:

[pic 56]

[pic 57].

Тогда уравнение касательной:

[pic 58].

Ответ: [pic 59].

9. Найти дифференциал функции в точке с абсциссой [pic 60].

[pic 61], [pic 62].[pic 63]

Решение.

Дифференциал  функции [pic 64] в точке с абсциссой [pic 65] находится  по формуле [pic 66].

Находим производную функции [pic 67].